§4.1 不定积分的概念与性质
一、原函数的概念
【定义】已知是一个定义在区间内的函数，如果存在着函数， 使得对内任何一点，都有
或
那么函数就称为在区间内的原函数。
例如：是在区间上的原函数。
对于原函数，我们很自然地会提出如下几个问题：
【问题一】具备什么条件，就能保证它的原函数一定存在?
【问题二】若有原函数，那么它的原函数会有多少个?
【问题三】若的原函数不止一个，是否可给出它的原函数的通式?
问题一将在下一章中讨论，这里我们仅给出它的结论。
【原函数存在定理】
如果函数在区间内连续，那未在区间内它的原函数一定存在，即：存在，对一切的，均有。
简言之：连续函数一定有原函数。
若是在区间内的一个原函数，即
那么对于任意常数，由于 ，于是，函数族中的任何一个函数也一定是在区间内的原函数。由此可知：
如果有原函数，那么原函数的个数为无限多个。
问题三可由下述结论来解决
【结论】设定义在区间上，如果是在上的一个原函数，那未函数族 (是任意常数) 是在区间上的所有原函数全体。
证明： 设是在上的另一个不同于的原函数，
则 ，
( 是某一常数 )
即 。
这表明：
因此，是在上的全体原函数。
二、不定积分概念
【定义】在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分， 记作
其中：称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。
由前面的讨论，如果是在区间内的一个原函数，那么表达式就是在上的不定积分，即
【例1】求
解：， 所以 是的一个原函数，
因此 ( 任意常数 )
【例2】设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点的横坐标的两倍，求此曲线的方程。
解：设所求曲线方程为，按题设， 曲线上任一点处的切线斜率为，这表明： 是的一个原函数。
由于 ， 所求曲线应是该曲线族中的一条，由于所求曲线过点(1，2)，故: ， 。
于是， 所求曲线为 。
曲线族中任意常数的几何意义( 运行程序gs0401.m )：
的图形可由抛物线沿轴方向移动距离得到。
当时， 图形向上移； 当时，图形向下移。
由此例，我们可将原函数，不定积分这些概念用几何术语来加以描述。
1、函数的一个原函数的图形叫做函数的一条积分曲线， 其方程为
2、不定积分的图形叫做函数的积分曲线族， 它们的方程为
。
3、由可知：
在积分曲线族上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此平行。
由不定积分的定义，有如下关系式：
或
或
由此可见，微分运算 (记号为) 与不定积分运算 (记号为)是互逆的。当记号合在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。
三、基本积分表
由于不定积分运算与微分运算是互逆的， 那么，我们可由基本初等函数的微分公式给出基本不定积分公式。
例如： ，
当时， 由 有
基本不定积分公式， 同学们可自行给出， 这里不再赘述。
四、不定积分的性质与举例
【性质一】函数之和的不定积分等于各个函数的不定积分之和， 即
【性质二】求不定积分时， 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号的外面来，即
( 为非零常数 )
这两个性质极易证明，只需对等式两边求导，比较两边是否相等即可。
利用不定积分的两个性质与基本的不定积分公式，我们可求一些简单函数的不定积分。
【例3】求
【例4】求
【例5】求
【例6】求
【例7】求
【例8】求