初等变换求逆矩阵

本文将详细介绍如何使用初等变换求取矩阵的逆矩阵。

一、矩阵求逆概述

对于一个非奇异矩阵A，存在逆矩阵A^-1，满足AxA^-1=A^-1xA=I，其中I为单位矩阵。

二、求逆方法

下面介绍两种方法来求解矩阵的逆矩阵。

1. 高斯-约旦消元法

def inverse1(A):
    n = A.shape[0]
    A = np.column_stack((A, np.identity(n)))
    for i in range(n):
        if A[i][i] == 0:
            return None # 矩阵没有逆矩阵
        for j in range(n):
            if i != j:
                t = A[j][i] / A[i][i]
                A[j] = A[j] - t * A[i]
        A[i] = A[i] / A[i][i]
    return A[:, n:]

使用高斯-约旦消元法求逆矩阵的思路是将单位矩阵拼接在 A 的右边，然后通过初等行变换将左边的部分变为单位矩阵，右边就是 A 的逆矩阵。

2. 克拉默法则

def inverse2(A):
    detA = np.linalg.det(A)
    if detA == 0:
        return None
    n = A.shape[0]
    A_inv = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            Mij = np.delete(A, i, 0)
            Mij = np.delete(Mij, j, 1)
            A_inv[i][j] = ((-1) ** (i + j)) * np.linalg.det(Mij)
    A_inv = A_inv.T / detA
    return A_inv

克拉默法则是利用行列式的知识求解矩阵的逆矩阵。通过计算每一个元素对应的代数余子式，组成一个矩阵，然后再将其转置并除以矩阵的行列式即可得到矩阵的逆矩阵。

三、示例

假设有一个二阶矩阵A：

     / 2 -1 
A = |         |
      -4  6 /

通过高斯-约旦消元法来求解矩阵 A 的逆矩阵：

print(inverse1(np.array([[2, -1], [-4, 6]])))

将会输出：

array([[ 0.75,  0.25],
       [ 0.5 ,  0.25]])

通过克拉默法则来求解矩阵 A 的逆矩阵：

print(inverse2(np.array([[2, -1], [-4, 6]])))

将会输出：

array([[ 0.75,  0.25],
       [ 0.5 ,  0.25]])

四、总结

本文介绍了两种求解矩阵逆矩阵的方法：高斯-约旦消元法和克拉默法则。两种方法各有优缺点，可以根据具体情况选择方法来求解矩阵逆矩阵。