本文目录一览：
求一矩阵奇异值的过程，顺便说明什么是奇异值.尽量详
1、什么是奇异矩阵？奇异矩阵是线性代数的概念，就是如果一个矩阵对应的行列式等于0，则该矩阵称为奇异矩阵。2、如何判断一个矩阵是否是奇异阵呢？（1）看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。（2）看此方阵的行列式|a|是否等于0，若等于0，称矩阵a为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵a为非奇异矩阵。（3）由|a|≠0可知矩阵a可逆，可以得出另外一个重要结论：逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果a为奇异矩阵，则ax=0有无穷解，ax=b有无穷解或者无解。如果a为非奇异矩阵，则ax=0有且只有唯一零解，ax=b有唯一解。（4）如果a(n×n)为奇异矩阵a的秩rank(a)a满秩，rank(a)=n.3、奇异矩阵的特征：（1）一个方阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。（2）一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。（3）一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。（4）一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。
matlab奇异矩阵如何处理？
如果是A*inv(B),为了避免运算时间过长，或出现奇异矩阵，一般写成A/B的形式。如果是inv(B)/A,就写成BA;
矩阵分解
为什么要进行矩阵分解？
1、从矩阵变换的角度：
将复合变换后的矩阵分解成基本变换过程。具体请看奇异值分解之矩阵变换角度。
2、从 研究动机 的角度:
首先要理解基变换（坐标变换）再理解特征值的本质。
1、如果一个矩阵的行列式为0（非满秩），其特征值为0，这个证明比较简单：
(单位矩阵有时候用 表示，有时候用 表示。)
如果 ，那么 ，进而
2、对于一个 的矩阵 ，其 ;
3、主对角线上的元素都不为0，其他元素都为0的矩阵叫对角矩阵，对角矩阵一定是正交矩阵，即其基两两垂直。
特征值分解就是矩阵的对角化，就是可以将 分解为 ， 是由对应特征向量组成的矩阵--特征矩阵， 为对角矩阵，对角线上的元素为 的特征值。只有在一定条件下，一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述，也就是说： 所有的特征向量组成了空间的一组基 。并不是所有方阵都可以对角化，方阵 可以被对角化的条件是 ：
正交矩阵一定可以对角化 。以三维空间为例，正交矩阵就是歪着的立方体，对角化就是把这个立方体摆正（就是让它的某一个顶点放在原点上，同时这个顶点的三条边放在三条坐标轴上）。对角矩阵就是摆正后的立方体。
机器学习中的特征值分解， 往往是协方差矩阵，如PCA，所以我们要确保各个特征之间是线性无关的。
如何通俗地理解奇异值？
我们知道一个向量张成的空间是一条直线， 任意实数 可以得到非零向量 张成的空间是一条直线。那么如果一个 维空间中的向量 其所张成的空间——一条直线上的点，经过一个矩阵 变换到另一个 的空间中依然在同一条直线上，这个直线是 空间中的向量 所张成的空间，只是会有对应的缩放，这个缩放的程度就是奇异值。用数学形式表达为： ， 是 空间中的向量， 是 的变换矩阵， 是 空间中的向量， 就是奇异值。
可以感觉到特征值是奇异值的特例，当m=n且 和 重叠的时候（方向可以不同），奇异值=特征值。
奇异值分解计算例子：
SVD（奇异值分解）Python实现：
矩阵分解为了解决传统协同过滤处理稀疏共现矩阵能力差的问题。使用矩阵分解相比传统协同过滤也提升了泛化性。
基于矩阵分解的模型又叫潜在因素模型、隐语义模型。
矩阵分解的开端是2006年的Netflix竞赛。
1、推荐系统中：
分解的是什么矩阵？共现矩阵
怎么共现矩阵分解？
1）特征值分解
要求待分解的是方阵，所以行不通
2）奇异值分解
要求待分解矩阵是稠密矩阵，而共现矩阵是稀疏矩阵，所以不行；
奇异值分解的复杂度是 ，复杂度很高，也不合适。
3）梯度下降法——也就是交替最小二乘法（alternating least squares，ALS），解决两个变量求解。
使用梯度下降法进行矩阵分解
（1）确定目标函数： ，就是一个MSE；
（2）分别对 和 求偏导
（3）参数更新
（4）迭代
得到隐向量后，对某个用户进行推荐时，利用该用户的隐向量与所有物品的隐向量进行逐一内积运算，得到该用户对所有物品的得分，再进行排序，得到最终的推荐列表。
4)贝叶斯矩阵分解
2、PCA---奇异值分解
Python中怎样实现奇异值SVD分解
这两个命令是完全不同的呀。
S=svd（A）表示对矩阵A进行SVD分解，分解的结果是得到3个矩阵，如果返回值只有一个，那么可以得到A的奇异值向量。
eig（A）表示求矩阵A的特征值。
所以区别就是，svd得到的是A的奇异值，eig得到的是A的特征值。
A'表示A的转置矩阵，A'*A的n个非负特征值的平方根叫作矩阵A的奇异值。记为σi(A)。
希望可以帮助你，望采纳！