一、函数依赖
1 .函数依赖
定义：设r(u )为属性集合U={ A1，A2，An }上的一个关系模型，x，y为u上的两个子集，对于r ) u的任意一个可能的关系r，r中的两组在x中属性值相等，y中的属性。
口语：在某关系r中，属性(组) y的值由属性(组) x的值决定。 另外，在关系r中，如果两个元组的x属性值相同，则可以说这两个元组的y属性值也相同。
为什么被称为函数依赖？ 的定义：定义域中的任意x只对应一个y。 属性之间的依存关系：对于相同的x属性值，有y属性值，只对应一个。
本质：函数依赖的本质是反映某个关系中属性之间的制约关系或依赖关系。 函数依赖于数据。
例：1. U={学号、姓名、年龄、专业}
{学号}
{姓名、年龄、专业}
函数依赖分为非平凡函数依赖和平凡函数依赖。 非平凡的函数依赖：是的
但是，但是
被称为
依赖不平凡的函数。 也就是说，x决定y，但y不在x中，这被称为非平凡的函数依赖。 否则就是平凡的函数依赖。
2 .完全函数依赖和部分函数依赖
定义：在关系r(u )中，如果
且对于x任意的照片子集X‘有x’
y称为y的完全函数依赖于x，表示为： 否则，y函数部分依赖于x，标记为。
口语：完全函数依赖是指属性组x的所有属性都可以一起(即完全)决定属性y，不能去除任何属性。 相反，部分函数依赖是指属性组x的一些属性可以确定y，不需要全部。
如果Insight )属性(组) y的一些函数依赖于属性组x，则在属性组x中存在属性)组y的非控制冗馀。 在设计数据库时，必须避免这种情况。 (支持2NF。
例： U={学号、姓名、年龄、班号、班长、班号、成绩}
(学号、课号)。
欧陆
(学号、课号)。
{姓名、年龄}
(学号、课号)。
{成绩}
解释：一个学号决定性别和年龄，一个学号决定成绩。 于是，我
和
是的
有些函数是依赖的。
3 .传递函数依赖
定义：在r(u )中，如果
而且
据说z传递函数依赖于x。
白字：据说如果x函数确定y，y函数确定z，且y、z不包含在x中，z不包含在y中，y不能确定x，则z传递函数依赖于x。 小心！若
得到
但是，不能说z传递函数依赖于x。
Insight :传递函数依赖具有非控制冗馀性。
例：学生(学校编号、姓名、系编号、系部长) )。
{学号}
{系列号}
{系列号}
{系主任}
{学号}
{系主任}
传达“系部长”依赖“学号”。
图标：
注：上述照片来自哈佛大学战德臣老师的PPT
4 .关于函数依赖的概念
(1) .候补键
定义：将k作为r(u )的属性或属性的组合，如果
中，k称为r(u )上的候选键。
口语：关系r(u )中的属性)组)对于k，当u的完全函数依赖于k时，即k中的所有属性都可以一起决定u时，将k称为r ) u的候补。
(2) .主键
如果有多个候补键，可以选择其中一个候补键作为主键。
(3) .主属性
任意一个候补键中包含的属性称为主属性，其他属性称为非主属性。
(4) .门诊钥匙
r(u )中的属性)组) x是另一关系s ) u而不是r的候选时
的候选键，则称 X 为 R(U) 的外来键，简称外键。白话：一个关系的外键是另一关系的候选键。
(5). 逻辑蕴含
定义：设 F 是关系 R(U) 中的一个函数依赖集合，X、Y 是 R 的属性子集，如果能从 F 这个函数依赖集合中推导出
，则称 F 逻辑蕴含
，或者说
是 F 的逻辑蕴含。记作
。
(6). 闭包
定义 ：被 F 逻辑蕴含的所有函数依赖集合称为 F 的闭包，记作
。
白话：也就是说，能从 函数依赖集 F 中推导出的所有函数依赖组成的集合，称为 F 的闭包。(学过泛函的话应该能感觉到有种完备的概念)。
如果
，则称 F 是一个 全 函数依赖族。(函数依赖完备集)。
二、函数依赖的 Armstrong 公理及其引理
设 F 为 R(U) 的一组函数依赖，记为 R(U, F) 。
1. 函数依赖的 Armstrong 公理
(1). 自反律
若
，则
被 F 逻辑蕴含。
白话：若 属性集 Y 包含于 X，X 包含于 U，则
，则
。也就是说 如果属性集 Y 属于 X，则 X 可以决定 Y，又可以说 属性集 X 可以决定 他的属性 子集。(平凡函数依赖)
(2). 增广律
若
，且
，则
被 F 逻辑蕴含。
白话：如果
在 F 这个函数依赖集合中，另一属性(组) Z 是属性集 U 中的元素，那么从 F 中可以推导出 XZ 函数决定 YZ。
(3). 传递律
若
，且
，则
被 F 逻辑蕴含。
2. 函数依赖的 Armstrong 的引理
2.1 引理1
(1). 合并律
若
且
，则
。 证明：根据增广律可以得到
，
，再根据传递律得到，
。
(2). 伪传递律
若
且
，则
。 证明：证明方法依然是 增广律 和 传递律。
(3). 分解律
若
且
，则
。 证明：根据自反律可以得到
，再根据传递律，得证
。
2.2 引理2
如果 A1，A2，... ，An是属性，则
当且仅当对每个 Ai 有
2.3 属性(集)闭包 和 引理3
(1). 属性(集)闭包定义
对 R(U, F) ，
，令：
= Ai 用 armstrong 三个公理 可从 F 导出
，称
为 X 关于 F 的属性(集)闭包。
区分 闭包和属性(集)闭包： 闭包指的是 F的闭包，该集合包含的元素是函数依赖。 属性集闭包是 X属性(集) 关于 F 的属性(集)闭包，该集合包含的元素是属性。
(2). 引理3
若 从 F 这个函数依赖集合中可以用 Armstrong 公理 导出
，当且仅当
。
解释：只有 Y 这个属性 在 X 关于 F 的属性(集)闭包中，才能推出
，只要能推出 X 决定 Y，那 Y 一定在 X 关于 F 的属性(集)闭包中。
2.4 覆盖 和 引理4、5
(1) 覆盖
定义：对 R(U) 上的两个函数依赖集合 F、G，如果
，则称 F 和 G 也是等价的，也称作 F 覆盖 G 或者 G 覆盖 F。
(2) 引理4
(3) 引理5
每个函数依赖集 F 可被一个 其右端至多有一个属性的函数依赖集 G 覆盖。
2.5 最小覆盖
(1). 最小覆盖
F 满足：F 中每个函数依赖的右边部分都是单个属性；
对任何
，有 F -
不等价于 F；
对任何
，( F-
不等价于F。
则 F 为 最小覆盖 或者 最小依赖集。
解释： 对于第 2 点，如果去掉
这个函数依赖，那么从 F 中不能推导出
，也就是说 F 中的每一个函数依赖都是必需的，一个不能少。 对于第 3 点，Z 是 函数依赖的 左边部分 的一个子集，如果去掉
这个函数依赖，加上 X 子集
的依赖依然不等价于F，即
是不能由
代替的。
(2). 定理
每个函数依赖集 F 都有等价的最小覆盖 F‘。