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矩阵的行列式与特征值的关系,求矩阵的特征值和特征向量

时间:2023-05-05 21:53:38 阅读:36448 作者:4352

请参考xfdxz博客。 如何理解矩阵的特征?

也可以参考b站wxdhy学说数的视频教程。 【线性代数的本质】特征值/本征向量的几何意义

的特征值和本征向量的定义: 1、本征值是线性代数中的重要概念,如果a为n阶方阵,且Ax=mx成立,则存在数m和非零n维列向量x,则m为a的本征值或本征值。

2、将非零n维矩阵向量x称为属于矩阵a的特征值m的特征向量或特征向量,简称为a的特征向量。

3、两者有密切的关系。 属于不同特征值的特征向量一定是线性的,但相似矩阵具有相同的特征多项式,因此具有相同的特征值。

结论先写,矩阵特征值是特征向量伸缩旋转程度的度量。 实数只进行伸缩,虚数只进行旋转,复数有伸缩也有旋转。 其实最重要的是特征向量,从其定义可以看出,特征向量是矩阵变换下只进行“规则”变换的向量,该“规则”是特征值。 矩阵几何含义:特征值为实数时,特征值为拉伸倍率,特征向量为拉伸方向。

特征值为复数时,表示旋转了90。 请用变换矩阵(0- 1,1 )测试一下。

在复平面中,横轴表示实数,纵轴表示虚数,因此每次乘以I时都将逆时针旋转90。 a b*i乘以I等于b a*i。 在复平面图上绘制的话,很容易看到逆时针旋转了90。 乘以I又旋转了90变成了180,同时i=-1,a b*i变成了-a-b*i,在图像上上标旋转了180就很容易理解了。 再旋转2次,i^4=1,所以返回最初的位置。

请注意区分矩阵的特征量和行列式的代表意义。 矩阵的特征量表示某个方向的伸长倍率; 行列式因此表示方向的伸长倍率的积。 这是相似矩阵的性质,因为矩阵a的行列式等于矩阵a的所有特征值的乘积。 从上面两个可以看出,二维变换矩阵的行列式是面积伸缩倍数,三维变换矩阵的行列式是体积伸缩倍数。 从这里类推…变换矩阵的特征值表示某个方向的伸长倍率。 另一方面,由n次变换矩阵a的n个特征值构成的对角矩阵与变换矩阵a相似。 相似矩阵具有相似矩阵行列式相等的性质。 因此,求出变换矩阵的特征值后,可以使用由特征值构成的对角矩阵来观察各方向的伸长倍数。

请记住区分旋转变换和拉伸变换

如果变换矩阵的行列式为0,则表示不可逆变换,如果不是0,则表示可逆变换。

对于旋转变换,旋转变换矩阵的行列式为1,仅靠旋转是无法延伸的,所以面积的增长率为1。 行列式的几何含义是面积变换的放大率

但是,请注意矩阵公式为1的矩阵不一定是旋转矩阵(此处不一定是正交矩阵,因此不一定是旋转矩阵),只有在变换矩阵的四个元素满足正弦余弦并且矩阵公式为1时才旋转。

旋转矩阵都是行列式为1的正交矩阵。 相反,行列式为1的正交矩阵也是旋转矩阵(正交矩阵),也就是将自身倒置后的矩阵) ) ) ) ) )。

变换矩阵的正对角元素不是0,其他元素为0,表示拉伸,并向两个方向拉伸。 如果某个正对角要素为1,则意味着该方向不会延伸;

变换矩阵的次对角元素为1,其他元素为0,表示按顺序或逆时针方向旋转90。

两个矩阵M1和M2相乘得到的行列式等于两个行列式的积:

线性变换有可逆的,也有不行的。 例如行列式=0这样的线性变换是不可逆的。 从图像上看,图形会稍微缩小,或者缩小成直线。 没有将它们撤消的矩阵。

请注意,二维变换矩阵的行列式为1表示面积伸长率必须为1。 例如,模态可能为2和0.5,即沿x方向伸长2倍,沿y方向伸长0.5倍。 当然,特征值也可能为3和0.333 ),并不一定表示旋转。

只有变换矩阵的特征值,才能表示某个方向的伸长倍数。 另一方面,由n次变换矩阵a的n个特征值构成的对角矩阵与变换矩阵a相似。 相似矩阵具有相似矩阵行列式相等的性质。 因此,求出变换矩阵的特征值后,可以使用由特征值构成的对角矩阵来观察各方向的伸长倍数。

刚体旋转时,由于已经确定是旋转,因此旋转矩阵的矩阵公式(乘以每个旋转矩阵的特征值可以证明是1 )必须为1,其形式为正弦余弦。

假设变换矩阵a的x、y特征值为2、3,则点(x0,y0 )经过矩阵a的变换后为2*x0、3*y0 )。 也就是说,在x方向上延长了2倍,在y方向上延长了3倍。 然而,这不表明x、y特征向量即使被线性组合也为特征向量。 因为只有对应于相同特征值的特征向量线性组合才是特征向量。

每个特征量表示在特征向量的方向上延伸的倍数,并且所有三维矩阵的特征向量不是相同的,例如[ 1,0,0 ]、[ 0,1,0 ]、[ 0,0,1 ]而不是[ 1,3,0 ]

与变换矩阵某个特征值对应的特征向量的线性组合仍然是特征向量。 例如,3次矩阵a的特征值是2、3、4。 那么,如果特征量2满足a*(a、b、c )=2* (a、b、c ),则特征向量) a、b、c )可以是(1)0),也可以是(5) . 即,可以是任意的倍数*(1)0)。 类似地,对应于另外两个特征量

如3次矩阵a的特征值2、2、4那样,在特征值2满足a*(a、b、c )=2* ) a、b、c )的情况下,特征向量(a、b、c )为) 1、0、0 ) )。

0,1,0),也可以为(9, 8, 0),即(a,b,c)满足线性组合为即任意倍数*(1 0 0)+ 任意倍数*(0 1 0),如(3,7,0)也是他的特征向量,因为A*(3,7,0)=2*(3,7,0),这个线性组合的特征向量就代表的是XOY平面内的所有向量,因为对该平面内的每个点做矩阵变换后,都会把这个点的x,y的值放大2倍。同理,另一个特征值4对应的特征向量的特征空间为任意倍数*(0 0 1),他却不能表示一个平面,因为他的前两维度必须为0,也就只是一条线,成不了一个面。

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