目的
求一个实对称矩阵的所有特征值和特征向量。
先行知识
在实对称矩阵$A$的情况下，一定存在对角矩阵$D$和正交矩阵$U$满足$$D=U^TAU$$$D$的对角线元素为$A$的特征值，$U$的列向量为$A$的特征向量。
定义$n$步进旋转矩阵$$g(p，q，theta ) (begin ) b矩阵)1) cdots0(ddots(1(cos ) theta-sin )theta )
$n$阶向量$alpha$，$alphacdotg(p，q，theta ) $的几何含义是在平行于$p$维坐标轴和$q$维坐标轴的平面内旋转$theta$
算法原理
可能是考虑通过旋转变换来缩小非对角线的要素，最终得到与原始矩阵相似的对角矩阵。
每当找到矩阵$A$的绝对值最大的非对角线元素时，将其设置为$a_{pq}$，$u=g(p，q，theta ) $，并将$A$转换为$U^TAU$
转换后的值为
用$b_{p，q}=0$求解$ $theta=frac {1} {2}arctanfrac { 2a _ { pq } { a _ { QQ }-a _ { PP }
旋转操作不会改变每个行向量或列向量的大小。 也就是说，矩阵$A$的F-范数$|| a|| f=sqrt {sum _ I _ sum _ ja { ij } ^2} $保持不变。 通过计算得到$$b_{ii}
算法流程
(1)矩阵$T=E$，即初始化单位矩阵
)2)找到$A$中绝对值最大的非对角选择元素($a_{pq}$
(3)找到相应的角度(theta )、结构矩阵) u=g ) p，q，)theta ) $
(4)令$A=U^TAU，T=TU$
(5) )到) )，一直重复到$a_{pq}
代码
#包含
用户命名空间STD；
常数int n=1005；
常数双精度EPS=1e-5；
常数上限=100；
int n，id[N]；
双键[ n ]，mat[n]，EigVal[N]，EigVal[N]，tmpeigvec[n]；
Boolcmpeigval(intx，int y ) ) ) )。
{
返回密钥[ x ]密钥[ y ]；
}
voidfind_eigen(intn，double(a ) [N]，double *EigVal，double ) Eigvec ) [N] )
{
for(intI=1； i=n； I )
for(intj=1； j=n； j )
EigVec[i][j]=0；
for(intI=1； i=n； I ) EigVec[i][i]=1.0；
int count=0；
while(1)。
{
//计数反复次数
出局；
//寻找绝对值最大的元素
double mx_val=0；
int row_id，col_id；
for(intI=1； I
for(intj=I1； j=n； j )
if(Fabs ) a[I][j] ) mx_val ) MX_val=Fabs ) a[I][j]，row_id=i，col_id=j；
if(MX_Vallim ) break；
//进行旋转变换
int p=row_id，q=col_id；
double Apq=a[p][q]，App=a[p][p]，Aqq=a[q][q]；
doubletheta=0.5*Atan2(-2.0*apq，Aqq-App )；
双精度int=sin (Theta )、cost=cos ) ) theta；
doublesin2t=sin(2.0*Theta )、cos2t=cos (2.0 * theta )；
a [ p ] [ p ]=app * cost * Costa QQ * Sint * Sint 2.0 * apq * cost * Sint；
a [ q ] [ q ]=app * Sint * sinta QQ * cost * cost-2.0 * apq * cost * Sint；
a[p][q]=a[q][p]=0.5*(aqq-app ) *sin2t Apq*cos2t；
for(intI=1； i=n； I )
if(I！=pi！=q )
{
双精度v=a[q][i]，v=a[q][i]；
a[p][i]=u*cost v*sint； a[q][i]=v*cost-u*sint；
u=a[i][p]，v=a[i][q]；
a[i][p]=u*cost v*sint； a[i][q]=v*cost-u*sint；
}
//计算特征向量
for(intI=1； i=n； I )
{
双精度v=EigVec[i][q]，v=EigVec[i][q]；
EigVec[i][p]=u*cost v*sint； EigVec[i][q]=v*cost-u*sint；
}
}
//对特征值进行排序
for(intI=1； i=n； I ) id(I )、key (I )=a (I )；
STD:3360sort(id1，id n 1，cmpEigVal )；
for(intI=1； i=n； I )
{
EigVal[i]=a[id[i]][id[i]]；
for(intj=1； j=n； j )
tmpeigvec [ j ] [ I ]=EIG vec [ j ] [ id [ I ]；
}
for(intI=1； i=n； I )
for(intj=1； j=n； j )
EigVec[i][j]=tmpEigVec[i][j]；
//特征向量是列向量
}
int main () )
{
scanf('%d '，n )；
for(intI=1； i=n； I )
for(intj=1； j=n； j )
scanf('%lf '，mat[i][j]；
find_eigen(n，mat，EigVal，EigVec )；
printf(eigenvalues=)；
for(intI=1； i=n； I ) printf('%lf '，EigVal[i]；
printf((neigenvector=n )；
for(intI=1； i=n； I )
for(intj=1； j=n； j )
printf('%lf%c )，EigVec[i][j]，j==n？' n': ' )；
返回0；
}