前述：假期开始以来，主要精力都集中在科研上，最近才花了一点时间写更新。
数理统计的学习有一个重要的结论，对于正态分布，样本均值和样本方差是独立的。 最初，这个结论看起来有点令人吃惊，因为直观上样本方差依赖于样本均值。 针对这一结论，许多教材一般通过构建正交变换进行论证。 但这种证明方式技巧性强，不易被学生理解和掌握。 对这个结论尝试了简单的证明。
定理：设为随机样本
根据正态分布，如果样本均值且样本方差，则独立于； 服从； 服从卡方分布.结论2很容易得到，以下只证明结论1和3 .
证明：为了证明结论1，首先列出三个引理。
命题1 :选择其中一个
、证明：注意：
就在这里
因此，辅助命题2 :任意一个
、服从二元正态分布。 证明：从引理1的证明可以看出：
又来了
虽然服从多元正态分布，但多元正态分布的线性变换仍然是正态分布，证明了引理。 引理3 :对于二元正态分布，协方差为0等价于独立。
协方差为0证明了联合密度与极限密度的乘积等价于独立，并得到了证明。
根据上述引理1-3，任何一个都很容易理解
和是相互独立的。 的函数，所以是独立的。 结论1得到证据。 接下来考虑结论3。 注意到了
也就是说
等式的左边是
项独立标准正态分布的平方和，所以遵循；等式右边第二项是1项标准正态分布的平方和，所以遵循。 等式右边的两个项是相互独立的，所以结论3得到证明。 上述证明的核心是基于不相关和独立等价多元正态分布的典型性质，证明变量不相关即可，独立性证明简单易懂。
此外，样本均值和样本方差的独立性也由basu’s theorem获得。 但是，basu’s theorem与辅助统计量和完全充分统计量等概念相关，在此不再详述。
本文讨论的定理具有非常显著的统计学意义。 其实，这个定理可以推导出t分布和f分布等重要的理论分布，这个定理是统计学中均值和方差统计估计的理论基础。
本文主要参考心灵美丽的狼Casella和Roger Berger写的《统计推断》定理5.3.1的讨论。
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