高考数学-基本不等式(知识点总结)
高中数学基本不等式的巧用
一.基本不等式
1.(1)在a、b R的情况下，a2b2a b；2 )在a、b R的情况下，ab a 2 b2 ) (且仅在ab的情况下取“=”) ) ) )。
2
2.)1) a、b R*时，为a b ab 2
)2)在a、b R*的情况下，为ab 2 a b (且仅在a b的情况下取“=”) ) ) ) ) ) )。
)3) a、b R*的情况下，为ab a b 2(且仅在a b的情况下取“=”) ) ) ) ) ) )。
2
3.x0时为x 1 2 (且仅在x 1时取“=”)； x 0时为x 1 2 (且仅x 1时为“=”) ) ) ) ) ) ) )。
x
x
x 0时，x 1 2为x 1 2或x 1 -2(且仅在a b时取“=”) )。
x
x
x
在a b 0的情况下，为a b 2(且仅在ab的情况下取“=”) ) ) ) ) )。
ba
在a b 0的情况下为a b 2，即a b 2或a b -2(但是，仅在ab的情况下取“=”) )。
ba
ba
ba
4 .在a、b R的情况下，(a b )2 a2 b2 (且仅在a b的情况下取“=”) ) )。
2
2
注(1)两个正数之积为定植时，可以求出它们之和的最小值；两个正数之和为定植时，可以求出它们之和的最小值
乘积的最小值是所谓的“乘积和最小、和常数最大”。
)2)求最高值的条件“一正、二定、三取等”
)3)均值定理在求最大值、比较大小、求变量取值范围、证明不等式、解决实际问题方面应用广泛。
应用1 :求出最高值
例1 :求出下一个函数的值域
)1) y=3x 2 21x 2
)2) y=x 1x
(1) y=3x2 21x2 ) 23 x22 x12=6(值域为[ 6，]
)2) x>； 0时，y=x 1x 2
1 xx=2；
x<； 在0的情况下，y=x 1x=-(-x-1x(-2)值域为(-，-2) () 2，
解决问题的技巧：技巧1 :收集道具
1 xx=-2
例1 :知道X5，求出函数y 4x 2 1的最大值。
4
4x 5
解： 4x 5 0，所以必须先“调整”符号。 另外，(4x 2) g 1不是常数，所以分解4x 2收集项。
2020-04-01
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