为什么b样条曲线Bezier曲线/曲面为局部的修改和编辑；
对于贝塞尔曲线/曲面接合，请参阅满足几何连续条件是十分困难的
在b样条的历史1946年，Schoenberg提出了一种基于样条的方法来逼近曲线；
b样条的动机来源于插值中的Runge-Kutta现象。 高阶多项式容易产生不稳定的上下抖动。
为什么不选用分段低阶多项式通过连续的连接来代替高阶多项式呢？ 这就是样条（分段低阶多项式）的思想。
1972年，在Schoenberg工作的基础上，Gordon和Riesenfeld提出了b样条和一系列相应的几何算法。
如何求解b样条函数的插值可以通过求解三对角方程来完成。
对于某个区间分割，可以同样计算样条的插值。
特定区间的所有样条函数构成线性空间。 这个线性空间的基函数称为b样条基函数。
b样条基函数
p(t )=i=04PiNi，4
1.B样条函数Ni，K(T )的非零区间是什么？ ((ti，ti k ) ) )。
-小部分不是0，大部分是0，保证b样条的局部性。
2 .总共需要多少个节点？
与P0对应的n0、4、n0、4对应的非零区间是(t0、t4 )
与P1对应n1、4、n1、4对应的非零区间是[t1、t5]
与P2对应的n2、4、n2、4对应的非零区间是[t2、t6]
与P3对应n3、4、n3、4对应的非零区间是[t3、t7]
与P4对应的n0、4、n4、4对应的非零区间是(t4、t8 )
-共(N K 1)个
3 .用b样条插值的曲线的定义区间是什么？
在上图中，t3 - t5有定义，其他区间没有意义。 总共五个基函数。 k楼是指一段内必须有k个基函数，这样就有意义了。 否则，少了一个基底就不完整了。每个基函数跨越了k个区间
b样条曲线分类的一般曲线可以根据起点和终点是否重叠来分类。
-不重叠：开放曲线
-重叠：闭合曲线
根据节点向量中节点的分布，b样条可分为四类：
（1）均匀B样条
结均匀分布，如0、1、2、3、4、5、5、7
0、1、2、3定义一个段落，1、2、3、4定义另一个段落。 当两端之间有三个点重叠时，可以连续两次。
最大特定：给定控制网格，就可以画出（估计出）曲线。例如，1，3两点的中点连接2，连接线段的三分之一处是均匀b样条的起点； 2、4两点的中点与3相连，相连线段的三分之一处是均匀的b样条曲线通过的点； 通过这样依次连结，能够描绘出大致均匀的b样条。
（2）准均匀B样条：将起点和终点的都有k的重复度， 曲线就会经过端点。(与均匀b样条曲线相比，起点应在1、3两点的中点与2连接，取连接线的三分之一。 ）
（3）分段Bezier曲线：起始节点和终止节点都具有k的重复度，所有其他节点都具有k-1的重复度。
上述段均为贝塞尔曲线。 对于分段的贝塞尔曲线，不同的曲线段是相互独立的，移动控制点只会影响其所在的贝塞尔曲线段，其他贝塞尔曲线段不会更改。 此外，贝塞尔曲线的所有算法也同样适用于分段贝塞尔曲线。
但是，分段bezier曲线需要使用更多的参数和变量进行控制。 更多的控制点和更多的节点。
（4） 非均匀B样条
节点向量T=[t0、t1、…、tn k]中的节点以非递减阵列排列，满足以下条件：
开始节点和结束节点重复度都在k以下；
其他节点的重复度在k-1以下。
性质1：局部支持性
区间t[ti，ti 1]上的曲线至多只由k个控制点pj(j=ik1，…，I )决定。 这是因为在t[ti，ti 1]区间上最多定义了k个控制点。
更改控制点Pi仅影响区间(ti、ti k )的曲线。
性质2：连续性
p(t )在每个重复度为r的节点上具有Ck1r的连续性。
说明： k次曲线，节点向量不重复时，k次曲线为k-1次连续
。样条的概念是要比多项式低一次的几何连续性，所以k阶曲线在节点向量不重复的情况下，是k-1-1次连续。例如4阶曲线是（4-1-1=2）的连续。性质3：凸包性：
一个B样条曲线被包围在其控制顶点的凸包内部。
性质4：变差缩减性（Variation Diminishing Property）：
任何一条直线与B样条曲线的交点树木不会超过该直线与B样曲线的控制多边形的交点数目。
性质5：仿射不变形：
对曲线的变化可以通过对顶点的控制来选择。
性质6：直线保持性：
如果控制多边形退化成为一条直线，那么B样条曲线依然在这条直线上。
性质7：灵活性：
使用B样条曲线可以方便地构建如线段，尖点，切线等特殊效果。
以4阶B样条为例，如果需要包含一条线段，只需要指定控制顶点 Pi,Pi+1,Pi+2,Pi+3 共线（参照均匀B样条理解，非均匀的也有根据控制点画B样条的性质，只是不在三分之一点处）。如下图中的四顶点共线。
如果希望曲线过一个点 Pi ,只需要指定 Pi=Pi+1=Pi+2 ,即可得到尖点。如下图中的三重顶点。
如上图中两重顶点相切，如果需要曲线与直线L相切，只需要指定控制点 Pi,Pi+1,Pi+2 都在L上，并让 ti+3 的重复度小于2。
计算B样条曲线的一点P(t),可以直接使用B样条的公司，但de Boor算法是一个更有效的算法。
当求一个在 (tj,tj+1) 间的点t，只有在(j-k+1,j)之间有定义。将基函数用de-Boor算法展开，合并同类项后得到一个式子。即将一个k阶B样条写成了一个k-1阶B样条的形式，控制顶点变成了线性组合。
由此写成如下的递推公式求解B样条 一点的值：
de Boor算法的递推不同于Bezier的求值，只需要特定的点求解。
是实际中对B样条的重要的交互操作，允许在不改变一个B样条的几何形状以及阶的条件下插入一个新的节点。通过插入新的节点，可以增加一个B样条曲线的可控程度。
插入新的节点t到节点区间 [ti,ti+1] 中；
节点向量变成为：
写成：
T1=[t10,t11,…,t1i,t1,t1i+1,…,t1n+k]
新的节点向量对应了新的B样条基函数。假设原始曲线P(t)可以由这些新的基函数和新的控制顶点 P1j （待定）来表达。
在不改变B样条几何形状情况下，插入新节点后基函数变化，所以需要控制点变换，这时候就需要节点插入的算法。
节点插入的算法
很简单的一个算法，只是对当中的点进行了求取组合数。
效果演示如下：
B样条曲线和Bezier曲线的缺点：
不能精确表示圆锥曲线（除了抛物线）
NUBRS（Non-Uniform Rational B-Spline,非均匀有理B样条）：
目的在于找到一种精确描述圆锥曲线以及二次曲面的数学方法。
优点：
它提供了一个更一般更精确的方法，来表达并对自由曲线/曲面进行设计；
它提供了一个通用的数学公式，可以同时表示标准的解析曲线/曲面（如圆锥曲线）和自由曲线/曲面（如参数曲线/曲面）；
存在稳定快速的数值计算算法；
NUBRS不仅对于仿射变换存在不变性，对于投影变换也存在不变性；
由于NURBS的控制点和权重都可以任意修改，用NURBS来进行曲线/曲面的设计可以获得更大的灵活性；
非有理B样条，非有理和有理Bezier曲线/曲面都可以看成是NURBS的一种特殊形式。
缺点：
需要存储权因子，如权重设计不合理，NURBS曲线可能会产生畸变；