对于一个实对称矩阵，不仅可以用一个可逆矩阵对角化，还可以用一个正交矩阵对角化。 与实对称矩阵不同特征值对应的本征向量正交，且实对称矩阵的本征值均为实数。 应试学习中，要求矩阵相互正交，且由作为单位向量的特征向量构成的正交矩阵，要重点把握这里的对角矩阵由矩阵的特征值构成。
实对称矩阵：元素均为实数的对称矩阵称为实对称矩阵。
实对称称矩阵的特征值、特征向量及相似对角化：
(1)实对称矩阵的特征值均为实数。
(2)对应于实对称矩阵不同特征值的本征向量相互正交；
)3)实对称矩阵一定与对角矩阵相似。
求实对称矩阵矩阵正交相似于对角矩阵的步骤：
求实对称矩阵的正交性类似于对角矩阵的步骤
题型1 :实对称矩阵的正交相似对角矩阵
示例1 :
解题思路： (1)非齐次线性方程有无限解的充要条件是矩阵a的秩等于扩展矩阵的秩且小于3。
)2)用求实对称矩阵相似对角矩阵的方法求解
解：
题型2 :相似对角矩阵的应用
例2 )设a为n次矩阵，有特征值1、2、3、…、n，求|3E A|
分析：可以利用特征值和行列式的性质进行计算。
解：