考虑个离散联合分布的随机变量，根据条件概率分布，联合分布概率可以表示为：
(1) ) ) )。
假设每个变量都有一个值，则必须将所有其他变量相加才能获得一个变量的概率值。 也就是说
(2) ) ) )。
如果变量有值，那么这个问题的复杂度，显然复杂度非常高，在实际应用中是不可能的，考虑到另一个极端的情况，即所有的变量都是相互独立的情况，这时单独求出即可，也就是说，我们通常使用的朴素贝叶斯贝叶斯网络的方法介于两个极端之间，其中每个变量的变化取决于所有其它变量的子集，在该情况下联合概率分布可表示为：
(3) ) )。
其中，对应于有关变量的变量集合。 这是整个变量集合的子集。 例如
(4) ) )。
与式(4)对应的贝叶斯网络结构如下。
也就是说， 集合称为变量的父集合。 从统计学上看，给定父集合的值后，变量统计信息独立于集合中的所有其他变量，每个变量都显示条件独立的关系，并显示多变量集合中包含的概率结构。 利用这个特性可以降低计算的复杂性。
3358www.Sina.com/的定义一般由1.图的基本定义图表示，表示节点之间的互连关系图中的节点，每个成员具有一对连接关系(即一条边) 这些边的数组称为的边，如果一个路径的端点是同一节点，则称为路径（path）。 3358www.Sina.com/是指只包含有向边的图表结构，该结构内不存在cycle时称为循环（cycle），可以通过一条路径连接时称为有向图这里必须注意区分祖先节点和父节点。有向无循环图（directed acyclic graph,DAG)是DAG，其节点表示随机变量，其中一个节点变量表示祖先条件相关的所有http://www.Sina.com/non 这是贝叶斯网络的基本定义，这里给出条件独立的定义。 或者等价地，对事件和给定事件称为条件独立。 也就是说，发生的情况下，与是否发生无关。 需要注意的是，条件独立和独立没有包含关系。
那么，在此基础上，我将介绍以下两个重要定理。
非祖先是贝叶斯网络结构，假设该图结构的所有节点都是对应于随机变量的联合概率分布，则父节点通常是可因数分解的(factood ) 而且这个定理相反是正确的。
子点图为DAG，当各节点具有父节点的条件概率时，这些条件概率的乘积得到变量的联合分布，满足马尔可夫条件。 这个定理很有用。 实际上，这通常是我们构建概率图模型的方式，因为我们使用推理方法对我们要建模的物理过程进行分层构建，并将条件独立关系编码到图模型中。
将3贝叶斯网络结构与父节点集合、非祖先进行比较假设分布，根据潜在条件独立构建了贝叶斯网络。 与定理2相反，基于网络结构说明了各节点的分布特性。
举个例子吧。 我们现在研究一个国家的GNP与其教育水平、成人工作类型的关系。 由于GNP，两个取值的HGP和LGP分别对应于高(高)和低(低) GNP； 为了教育水平，取三个值NE、LE、HE，分别表示没有受过教育的低水平教育和高水平教育； 由于工作类型，取UN、LP、HP三个值，分别对应无业、低收入、高收入。 使用足够数量的样本可以学习以下概率：
1 .边际概率：
2 .有条件概率：
可以看到，简单的三个变量也需要17个概率值。 想想贝叶斯网络图。
马尔可夫认为，在给定的情况下，和没有关系。 (工作好坏因教育状况而异，与国家GNP无关。定理1：)。 验证一下贝叶斯网络是否满足马尔可夫条件。 根据就等于所有节点关于父节点条件分布概率的乘积，联合概率可以表示为：
也就是说，来自富裕国家的人接受高等教育时，获得高薪的概率为(0.8 ) (0.75 ) ) 0.2 )=0.12，同样来自贫穷国家的人受教育程度低，收入低的概率为0.476。 以下验证贝叶斯网络结构满足马尔可夫条件，并可以：
然后，那个
所以可以得到
这样，如定理2所述，验证了基于编码条件独立性的条件概率构建的网络。