转自： https://blog.csdn.net/cowena/article/details/50538672
FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。 虽然有些信号在时域中很难识别特征，但是转换到频域后，特征会变得容易识别。 这就是许多信号分析采用FFT变换的原因。 另外，FFT可以提取一个信号的频谱，这在频谱分析方面也很常用。
很多人都知道FFT是什么，能用来做什么，该怎么做，但不知道FFT之后的结果是什么意思，怎么决定做FFT要怎么用多少分。
现在根据实际经验谈谈FFT结果的具体物理意义。 一个模拟信号经过ADC采样变为数字信号。 采样定理表明，采样频率大于信号频率的两倍。 这些在这里不说明。
采样得到的数字信号可以进行FFT变换。 n个采样点可以经由FFT获得n个点的FFT结果。 为了便于FFT运算，通常n取2的整数次幂。 设采样频率为Fs、信号频率f、采样点数为n。 FFT的结果为n点的复数。 每个点都对应于频率点。 这一点的固有值是其频率值下的振幅特性。 具体和原始信号的幅度有什么关系呢？ 假设原始信号的峰值为a，则FFT结果的各点(第一点的直流成分除外)的模式值为a的N/2倍。 第一个点是直流分量，其模式值是直流分量的n倍。 各点的相位是该频率下信号的相位。 第一点表示直流成分0Hz，最后一点n的再下一点(实际上不存在该点。 这里是假设的第N 1个点，也可以看作将第一点分成一半，将另一半移到最后)表示采样频率Fs，其中间在N-1个点平均被n等分，各点的频率依次增加。 例如，某点n表示的频率是Fn=(n-1 ) *Fs/N。
从上述公式可知，Fn能够识别的频率为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz、采样点数为1024点，则能够识别到1Hz。
如果以1024Hz的采样率采样1024点，正好是1秒。 也就是说，如果对1秒钟的信号进行采样并进行FFT，则结果可以分析到1Hz。 如果对2秒钟的信号进行采样并进行FFT，则结果可以分析到0.5Hz。 为了提高频率分辨率，需要增加采样点数，也就是采样时间。 频率分辨率与采样时间呈倒数关系。
当将FFT之后的某一点n表示为复数a bi时，该复数的模式为An=根号a*a b*b，相位为pn=Atan2(b，a )。 根据以上结果，与n点(n1且n=N/2 )对应的信号的公式为an/(n/2 ) cos )2*pi*fn*tpn )，即2*an/n*cos )2* pi * ffn 由于FFT结果的对称性，通常只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。
那么，说了很久，看着公式也会晕过去的。 用实际的信号说明。
假设包含2V的直流成分，有频率50Hz、相位-30度、振幅3V的交流信号和频率75Hz、相位90度、振幅1.5V的交流信号。 在数学式中，s=23*cos(2*pi*50*t-pi*30/180 ) 1.5 * cos (2* pi * 75 * TPI * 90/180 )式中的cos参数为弧度，因此为-30度根据以上分析，fn=(n-1 ) *Fs/N可知两个点的间隔为1Hz，第n个点的频率为n-1。 我们的信号有三个频率。 0Hz、50Hz、75Hz。 分别在第一个点、第五十一个点和第七十六个点出现峰值，其他各点应该接近0。 实际情况怎么样？
看看FFT结果的震级。
从图1 FFT的结果图可以看出，在第1点、第51点、第76点附近有比较大的值。 把这三点附近的数据分别拿来仔细看看。
1分： 512 0i 2分：-2.6195E-14 - 1.4162E-13i 3分：-2.8586E-14 - 1.1898E-13i 50分：-6.2076E-13 -2.1713E-12i 51分： 332.-2.2199E-13 -1.0076E-12i 76点： 3.4315E-12 192i 77点：-3.0263e-14(7.5609e-13I明显，1点、51点、76点的值比较大，其附带
接下来，计算各点的振幅值吧。 分别计算这三个点的模值，结果如下：
1点： 512
51时384分
76时192分
根据公式，直流分量为512/N=512/256=2；
50Hz信号的宽度为384/(n/2 )=384/(256/2 )=3；
75Hz信号的幅度为192/(n/2 )=192/(256/2 )=1.5。
可见光谱分析得到的幅度是正确的。
然后计算相位信息。 直流信号没有相位，请不要在意。 首先计算50Hz信号的相位，计算Atan2(-192、
332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位，atan2(192,3.4315E-12)=1.5708弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。
总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。
[附录：本测试数据使用的matlab程序]
close all; %先关闭所有图片
Adc=2; %直流分量幅度
A1=3; %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
F1=50; %信号1频率(Hz)
F2=75; %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90; %信号相位(度)
N=256; %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻
%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
plot(S);
title('原始信号');
figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');
figure;
Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显示换算后的FFT模值结果
title('幅度-频率曲线图');
figure;
Pyy=[1:N/2];
for i="1:N/2"
Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %显示相位图
title('相位-频率曲线图');