一、方差分析的基本原理
1、方差分析(analysis of variance ) :k(k=3)样本平均假设测试方法。
所有与j无关的变量都视为常数，此时summation表示次数
方差分析的基本步骤： (1)将数据总变异的自由度和平方和分解为各变异原因的自由度和平方和，计算其均方
)2)计算均方，进行f测试，明确各变异因素的重要程度
)3)对各平均数进行多重比较
2、f分布和f测试(比较两个东西变异的大小) )。
在平均数为方差的正态总体中，随机抽取两个独立样本，求出各自的均值和方差，将其比值定义为f。
/
在给定的v1、v2下用上述方法从正态总体进行一系列采样，可以得到一系列f值，形成一个f分布。
统计研究显示：
(1)f分布是平均值为1、可取值的空间为[0，]的曲线的组
)2)某特定曲线的形状仅依赖于参数v1和v2，v1=1或2时，曲线较大地倾斜为逆j曲线，v1=3时，曲线呈偏置状态。
在分布式体系中，f测试可用于检测某项变异因素的效用或分布式是否实际存在。 在计算f分布时，总是以要测试的一个变异要素的均方为分子，以另一个变异，例如测试误差项的均方为分母。 这个问题与方差分析的模型和各变异源的期望均值有关。 在此测试中，如果分子的均方小于分母的均方，则F1将接受无效假设，因为F1不使用查找表而确定P0.05，并且接受无效假设。
测试时，(1)变量y必须遵循正态分布n )，
)必须相互独立
如果数据不满足这些条件，则需要进行适当的转换。
分子必须是大均方。中使用的统计假设H0 :或HA :之间存在差异(不一定三者都不同，可以部分不同)。 二.多重比较
通过对一组实验数据平方和和自由度的分解，比较估计处理的均方和误差的均方，从f测试到处理之间存在明显的差异，部分实验的方差分析已经告一段落，但部分实验的目的不仅在于了解一组处理之间有无整体的实质性差异在一个实验中，k个处理有k(k-1 )/2个比较，该比较是复式比较，也称为多重比较(multiple comparisions )。
方差分析后进行平均数间的多重比较与处理间的两个单独比较不同。 原因：)1)误差综合多个处理内的变异进行估计，自由度增加，因此比较的精度也提高了
)2)由于f测试显著，在确定处理之间总体存在真差异后进行2、2均值比较，很少像单独比较那样将个别偶然性差异误判为真差异。 根据f测试进行的平均数之间的多重比较称为fisher ' sprotectedmultiplecomparisons (费舍尔保护下的多重比较)。 如果没有f测试保护，则处理之间的两个比较在每个比较中的显着水平=0.05，在处理之间总体上没有差异，并且如果错误确定每个比较有差异的概率为0.05，则错误确定六个比较中至少一个的概率为“=1-” 处理数k=10时，'=1-=0.9006，因此尽管各个比较的明显水平为0.05，但整个实验的'(至少一个错误判定的概率)较大，表明需要通过f测试进行保护
多重比较的方法：最小显着差数法、复极差法(q法)、Duncan氏新复极极极恶法)。
33558 www.Sina.com/(leastsignificantdifference，LSD法)，实质为t测试(分组)。
程序：在处理间f测试显著的前提下，计算显著水平为的最小显著差异数； 两个平均数之差()，其对一组处理的重复试验数据经对总平方和与总自由度的分解估计出 处理间均方与处理内均方（误差均方），通过F=MSt/MSe测验处理间所表示出的差异是否真实（比误差大），这一方法为方差分析法。，水平差异显著，相反水平不明显。 该方法也称为f测试保护的最小显着差数法。
方法二： q法（极差）
LSD法的t测验是根据两个样本平均数差数（k=2）的抽样分布提出的，但是一组处理（k>2）是同时抽取k个样本的结果。抽样理论指出k=2时与k>2，例如k=10时其随机极差是不同的，随着k的增大而增大，k=2时的t测验有可能夸大了k=10时最大与最小两个样本平均数差数的显著性。基于极差的抽样分布理论，Student-Newman-Keul提出了q测验或称负极差测验（SNK/NK测验）。
q测验方法是一组k个平均数由大到小排列后，根据所比较的两个处理平均数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小显著极差的值。
q测验根据极差抽样分布原理，其各个 比较都保证同一个显著水平，其尺度值构成为：
=SE SE=sqrt(MSe/n)
式中2pk,p是所有比较的平均数按大到小顺序排列所计算出的两极差范围内所包含的平均数个数（称为秩次距），SE是平均数的标准误。每一显著水平下有k-1个尺度值。平均数比较时，尺度值随秩次距的不同而异。
方法三： 新复极差法
不同秩次距P下的最小显著极差变幅比较大，因此，D.B.Duncan提出新复极差法，又称最短显著极差法（shortest significant ranges,SSR）。与q法相似，其区别在于计算最小显著极差时不是查q表而是查SSR表，所得最小显著极差值随k增大通常比q测验时减小。
=SE*
在不同秩次距p下，平均数间比较的显著水平按两两比较是 ，但按p个秩次距则为保护水平'=1-(1-)^(p-1)
二、多重比较结果的表示方法
（1）列梯形表法
（2）划线法
（3）标记字母法
首先将全部平均数从大到小依次排序，然后再最大的平均数标上字母a；并将该平均数与以下各平均数相比，凡相差不显著的都标上字母a,直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母b（向下过程）；再以标有该字母b的最大平均数为标准，与以下未标记的平均数比，凡不显著的继续标以字母b，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母c。……如此重复下去，直至最小的一个平均数有了标记且与以上平均数进行了比较为止。各个平均数间，凡有一个相同标记字母的即为差异不显著，没有相同标记的即为差异显著。
三、多重比较方法的选择
参考原则：
（1）试验事先确定比较的标准，凡与对照相比较，或与预定要比较，或与预定要比较的对象比较，一般可选用最小显著差数法
（2）根据否定一个正确的H0与接受一个不正确的H0的相对重要性来决定。
四、方差分析的线性模型与期望均方
方差分析是建立在一定线性可加模型基础上。线性可加模型是指总体每一个变量可以按其变异的原因分解成若干个线性组成部分，是方差分析的理论依据。
五、单项分组资料的方差分析
单项分组资料是指观察值仅按一个方向分组的资料。
（1）组内观察值数目相等
（2）组内观察值数目不等
（3）组内又分亚组的单向分组资料的方差分析，
每组又分若干个亚组，每个亚组内又有若干个观察值，则为组内分亚组的单项分组资料，或称系统分组资料。系统分组并仅限于组内分亚组，亚组内还可分小组，小组内还可分亚组，……，如此一环套一环地分下去---巢式试验。