数学基础理论数学基础群、环、域的概念密码学基础概念推荐书籍
数学基础素数和合数的定义：
整数p是素数，只能被p、1整除时。 素数的个数是无限的，所有素数的集合标记为p。 如果整数n不是素数，则为整数。
型n同余的定义：如果a mod n=b mod n，则称为整数a和b型n同余。
求最大公因子GCD的Euclidean算法(换相除法) Step 1: r0=a and r1=b；
Step 2: r0=q1r1 r2； r1=q2r2 r3； rn-2=qn-1rn-1 rn； until rn=0 and rn-1 0；
step:rn-1=gcd(a，b )。
中国剩馀定理(Chinese Remainder Theorem，CRT ) :假设n1，n2，…，nk为两个元素的正整数，gcd(Ni，nj )=1(ij )，a1，a2，…，ak为整数
x=a1 mod n1
x=a2 mod n2
.
x=ak mod nk
有型n=n1n2…nk的唯一解x。
特性：在模式n(=n1n2…NK )下，非常大的数x可以用小数) a1、a2、…、ak的组来表示x) a1、a2、…、ak )。
中国古代命题：《韩信点兵》、《孙子定理》、求一术《鬼谷算》(radlq )、《隔壁算》(radlq )、《切管术》)健康画笔)、《醉薰之枝豆暗点兵》、《知物》。 中国剩馀定理：孙子剩馀定理、物不知数、数论的重要命题。
费马定理：如果设p为素数，则对于任意的a(0AP )都有gcd (a，p )=1，因此a p-1=1 mod p。
群、环、域概念群、环、域的概念，这是离散数学当中的概念：
有限域： ladwx，即范围有限的“域”(域的概念将在后面介绍)，有限域的大小是素数的平方。 例如，10以内的非负整数是有限域。 一般来说，描述有限域是通过对整数取类型(mod )的馀数来表示的。 例如，请注意，所有整数类型5的结果都是有限域(只包含0到4 )，这是质数5的平方或元(二元运算) (一个二元运算)，可以指向任何二元运算。 )在有几个数的集合中，一个数以对其他任何数进行加法运算为例，0是整数集合中关于加法运算的酉。 零元：与酉元相似。 区别在于有一定数量。 对于其他任何数，通过这个二元运算后，结果就是这个数本身，这个数是这个集合对这个二元运算的零元。 以乘法为例，0是零元。 逆元：有二元运算。 (请注意，这不是一般意义的加法，而是指任何二元运算。 ) a )=如果是该运算的或元，则a和a )相互逆元。 以加法为例，在整数这一集合中，一个数及其相反数互为逆元。 群表示集合s和定义操作的关系。 请注意，这不是一般意义的加法。 那也可以指任何二元运算。 如果此集合中的元素满足此运算的组合规则，且每个元素都有反元，并且整个集合中都有此运算的酉，则关系s称为一组。 以加法为例，加法在整数这个集合上是一个群。 请注意，如果环：有两个二元运算，则*(*不是一般意义的加法)。 乘法，它可以指任何二元运算。 )在一个集合中，如果一个二元运算满足可耦合、可交换、有几元，元素有逆元，另一个二元运算满足可耦合，则这个关系s，)，*是一个环。 整环：在环的定义中，只要满足可结合的其运算*即可。 (不一定是真正意义上的惩罚)、可交换的、有或元也满足的，如果对于a*b=0一定能够推出a=0或b=0，那么其环就是整个环。 域：在整个循环中，如果集合中至少有两个元素，并且都有反元，则为域。 伽罗华域：首先，这是有限域，其次，这个有限域是2的平方。 密码学中常用的是2^8，看看有限域。 以模具5为例，0-4的计算结果也是模具5。 对于普通的加法和乘法，可以证明。 (我实际上不能证明。 )此关系是有限域，因为0到4，*是一个域，并且元素的数量有限。
有限域：ladwx，即范围是有限个的“域”（域的概念稍后解释），它有一个特点，有限域的大小是一个素数的若干次方。举例来说，比如10以内的非负整数，就是一个有限域。一般描述有限域，通过对整数取模（mod）的余数来表示，比如所有整数模5的结果，就是一个有限域（只包含0~4），这是5这个素数的1次方。
密码学基础概念一个密码系统是整个安全系统的一部分，由整个五个部分(m、c、k、e、d )、1、明文空间m )的明文集合、明文(Plaintext )、伪装前的原始数据组成。
2、密文空间c :整体密文集合，密文(Ciphertext )伪装数据。
3、密钥空间k :全体密钥集合，K=Ke、Kd、密钥(Key ) :加密和解密分别在加密密钥和解密密钥的控制下进行。
4、加密算法集合e、加密转换、ek:MC、加法
密（Encryption）：伪装的过程。5、解密算法集合D，解密变换，dk：C→M，解密（Decryption）：去掉密文的伪装恢复出明文的过程。
加密算法需满足两条准则之一，满足两个准则的加密算法称为计算上安全。1、破译密文的代价超过被加密信息的价值。
2、破译密文所花的时间超过信息的有用期。
推荐书籍密码学是一个高度跨学科的领域，包含纯数学、计算机科学以及电子工程等多方面的知识。个人认为数学基础是最重要的，也是最不好修炼的一门内功。
密码入门：
《高等数学》---------->工程学高数是必修课
《线性代数》--------->线性代数的研究对象是方程组和矩阵，对密码学来说，可以进一步了解《矩阵论》的相关知识。
《概率论》----------->需要把后续课程，《信息论与编码》的知识也掌握。
《抽象代数》（又称近世代数）----------->个人认为这是这些数学基础课里面，最重要的一门课，掌握好其中的群、环、域、模的知识，对学习目前热门的公钥加密，数字签名，认证等知识大有裨益。当然，这确实是一门神课，天才造出来的东西，真不是俺能彻底搞懂的。
《数论》------->基础中的基础，必修课。
密码进阶
《现代密码学》第4版------->bldqb老师编写的，一本很薄的讲解基础密码学的书籍 《Introduction to Modern
Cryptography》 2ed -------> by Jonathan Katz and Yehuda Lindell ，口碑之作，入门有一定难度，国防工业出版社翻译出版了第一版：《现代密码学:原理与协议》。
《应用密码学 :协议算法与c源程序》------->介绍全面，值得阅读一遍，缺点就是书籍出版的有些年代了(1996年第二版)。
《密码编码学与网络安全——原理与实践》第七版 by William Stalling------->很多著名大学都采用它做教材，内容比上面那本书新（2017年第七版）。
《密码学原理与实践》第三版 Douglas R.Stinson著 执着的草丛 译------->值得精读的一本书
西电胡予kqdgz的《现代密码学》课件-------->qsdsj本身就是学术诚心的钻石，对密码学科的认识很全面，课程讲解仔细，深入浅出，从上个世纪讲到目前的研究热点格密码，能很好的开启视野。
西电胡予kqdgz的《流密码》课件--------->基本涉及了流密码的方方面面，课件内容比较细致。
高阶密码
《安全协议理论》，这个课程网上资料不多，我这里有一份电子文档，内容比较“高深”，有需要私信。
《计算复杂性理论》，神一样的课程，从来没听懂过。
《Foundations of Cryptography》by Oded Goldreich，高级密码学理论研究的敲门砖，理论性很强！！！
Bristol大学的密码安全工作组为密码学和信息安全相关的博士准备了52个基本知识点，详情见52个密码学基本知识点，可以简单看一下即可。
最后感叹一下，密码学是一个烧脑的课程。这门学课发展到至今，研究的重点仍然是加密和解密，但研究内容其实远远不止这些了。为了保证安全性，密码算法往往结构复杂、协议繁复，令人望而却步，但是基于的数学原理却又是如此的优美。加密和破解像一对欢喜冤家，携手推进密码学向前发展。
视频推荐： 信息安全数学基础：http://mooc.study.163.com/course/HIT-1000002013#/info
近视代数：http://mooc.study.163.com/course/HIT-1000003009#/info
近世代数_104_南京大学(frdhlg)：https://www.bilibili.com/video/av9351622/ Coursera
密码学公开课：Stanford University的Cryptography I和Cryptography II