PID是目前工程中使用最广泛、最稳定的方法，老实说，想要制作实际的东西，PID是必不可少的。 掌握PID是进行控制的基本。
本文会系统梳理PID控制，从基础的P控制器开始，PI控制器解决P控制器不能用大增益的问题，PID控制器解决PD控制器稳态误差不为0的问题。
文章乱码比较多，感兴趣可以看下面这个链接：
浅谈PID控制器的优缺点、改进方法？ - Mr.Bo先生的答复-我知道https://www.zhi Hu.com/answer/1925148521
最简单的反馈控制器是pcontrolandfirst-ordererrordynamics，即PID中的p。 PID是比例-积分-微分控制的缩写。 如果你知道自动控制的原理，这是众所周知的。 其控制规则如下。
为了生成与位置误差theta_e(t )=(theta_d ) t )theta ) t )成比例校正控制，被称为比例控制器或p控制器的K_p0，换言之恒定的控制增益K_p是虚拟的这是因为所产生的控制信号是误差theta_e(t )的线性组合，也是其导数和积分。
theta_d(t )为常数时，dot(theta_d ) t称为setpoint control。 此时，错误动力学如下所示。
代入p控制器如下所示。
这显然是时间常数tau=1/K_p的一阶误差动力学方程，其阻尼指数误差响应如下图所示，稳态误差为零，无过冲，2%的沉降时间为4/K_p，更大的K_p意味着更快的响应
theta_d(t )不是常数，dot ) theta_d(t )=c时，误差动力学被代入p控制器。
处理一下：
求解微分方程式后，如下所示
时间无限接近时，它收敛到非零值c/K_p，与setpoint control不同，稳态误差e_{ss}为零，关节位置总是滞后于运动基准点。 虽然可以通过选择控制增益K_p来减小稳态误差c/K_p，但是K_p的大小受到实际情况的限制
那么你想以大增益怎么办？ 出现比例积分控制器或PI控制器picontrolandsecond-ordererrordynamics，添加与误差对时间积分成比例的项：
PI控制器的框图如下。
theta_d(t )不是常数，dot ) theta_d(t )=c时，误差动力学被代入PI控制器。
上式求导时间：
利用前帖对二阶误差动力学的知识，分析了系统的固有频率omega_n=sqrt{K_i}、阻尼比zeta=K_p/2sqrt{K_i}经典模拟弹簧阻尼系统，
那么，当K_p、K_i0时，PI控制的误差动力学方程是稳定的，特征方程根据如下：
将K_p设定为20，下图显示了K_i在复平面上从0开始增长的根轨迹。
虽然省略了关于根轨迹图的讨论，但是可以画出以下的误差响应图。 罗马数字1、2、3分别对应于过衰减、临界衰减、欠衰减的响应。
针对临界阻尼情况(K_i=K_p^2/4)，我们可以经常选择K_p，K_i，增加K_p，K_i，尽量加快误差响应。 但是，在实际情况的限制下不能取得较大的增益，在满足实际情况的情况下，尽量增大K_p
现在，让我们比较一下p控制器和PI控制器。 下图显示了p控制器和PI控制器尝试跟踪匀速轨道的性能。 两种情况下的比率
增益 K_p 是相同的，而对于P控制器 K_i=0 ,从响应的形状来看，似乎PI控制器的 K_i 选择的大了一些，使系统欠阻尼，但依旧很明显，PI控制器的 e_{ss}=0 ，而P控制器的 e_{ss}not=0 ，这与上面的分析一致。如果期望的速度 dottheta_d(t)not=c ，PI控制器就不能完全消除稳态误差，但是，如果期望速度变化缓慢，那么一个设计良好的PI控制器可以提供比P控制器更好的跟踪性能。
左图为跟踪轨迹图，右图为误差响应
进入PID前，先看这个：
如上图，考虑摩擦等阻力，动力学方程就为：
式中：
\ tau_{fric}=bdot theta,b>0
简写一下，就为：
Feedback Control: PID Control（线性比例-积分-微分控制或PID控制），PID控制器就是PI控制器加上与误差对时间的导数成比例的一项，控制律如下：
上式中增益 K_p,K_i,K_d 都是正的，比例增益 K_p 类似于一个弹簧，试图减少位置误差 theta_e=theta_d-theta ,微分增益 K_d 类似于一个阻尼器，试图减少速度误差 dottheta_e=dottheta_d-dottheta ,积分增益可用于减少或消除稳态误差。PID控制器方块图如图:
（1）PD Control and Second-Order Error Dynamics
如果 K_i=0 ，就称为PD控制，假设机器人在水平面上运动(g = 0)，将PD控制律代入动力学，就有：
如果 theta_d 是常数，那么 dottheta_d=ddottheta_d=0 ，那么 dottheta_e=-dottheta，ddottheta_e=-ddottheta ，这时候误差动力学为：
写成二阶形式：
那么固有频率和阻尼比就为：
系统要稳定，那么 b+K_d，K_p 就要为正，如果误差动力学方程是稳定的，则稳态误差为零，如果不出现超调和快速响应，增益 K_d 和 K_p 应选择满足临界阻尼情况，如果想要快速响应，应选择尽可能高的满足实际问题的 K_p ，过高的 K_p 可能导致抖振（扭矩快速变化的情况）的发生。
如果其它条件不变，连杆在垂直平面上运动(g > 0)，根据上面的PD控制律，误差动力学可以写成：
观察上式，你会发现在 K_ptheta_e=mgrcostheta 时，关节将保持静止，即 theta_dnot=pmpi/2 时稳态误差 theta_enot=0 ，因为机器人在 theta_dnot=pmpi/2 必须提供一个非零的力矩来保持连杆静止，但PD控制律只有在 theta_enot=0 会在静止时产生非零力矩，这就陷入了矛盾，想让稳态误差变成0，但它就不是0，当然我们可以通过增大 K_p 来降低稳态误差，但是，我们上面讨论了， K_p 会受到实际情况的限制，那这种情况该如何解决？PID就出场了。
（2）PID Control and Third-Order Error Dynamics
为了消除稳态误差，我们通过设置 K_i> 0 让控制器化身PID控制器，下图展示了积分项加入控制器的效果：
左图为跟踪效果，中间为比例积分微分项各自的贡献，右图为控制情况
写出误差动力学：
tau_{dist} 为扰动力矩代替了重力项 mgrcostheta ，上式两边求导，就有三阶误差动力学：
如果 tau_{dist} 是常数，那么上式的特征方程为：
如果特征方程的所有根都有负实部，则误差动力学是稳定的，且收敛于零，为了稳定还必须满足以下控制增益条件:
增益 K_i 必须同时满足一个下限和一个上限。合理的设计策略是选择 K_p,K_d 以获得良好的瞬态响应，然后选择 K_i （从下面的根轨迹可以看出 K_i 太大，系统是不稳定的）使其能够减少或消除稳态误差，但又不至于对稳定性产生显著影响，在上面左边那张图可以明显看出效果。
特征方程的根轨迹，讨论就略去了
实际使用中，对于许多机器人控制器 K_i=0 ，因为稳定性是最重要的，可以用其他方法限制积分控制不利稳定的问题，比如integrator anti-windup，对允许的误差积分的大小设置一个限制。
PID控制算法的伪代码如下图：
虽然上述的分析集中于setpoint control，但是PID控制器很好地适用于轨迹跟踪，当然，它不是什么时候都有用，积分控制并不能消除沿任意轨迹的跟踪误差。