为了正式定义素数，我将使用lhzdsy(g.h.Hardy )和dfdqc ) e.m.wright )经典数论书《数论导论》中定义的“改进”版本。

照片1 )英国数学家lhzdsy和dfdqc，知名书籍《数论导论》的作者

我们只考虑正整数。 一个数p被称为素数，如果：

p 1)数字1既不是素数也不是素数。 1不是素数的一个好理由是为了避免修改算术基本定理。 这个有名的定理说：“整数作为素数的积只能用一种方法表示。” 假设1为素数，则此唯一性消失。 例如，可以将3写入1x3、1x1x1x3、1^12345x3等。 p除了1和p以外，没有正系数

图2 )素数与合数相比，不能排列成矩形，只能是一条线

素数的无限

素数的数量是无限的。 第一个素数是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31和37等。 “素数有无限个”这个重要定理的第一个证明是古希腊数学家dfdxtg提供的。

瑞士伟大的数学家莱昂哈德欧拉仅通过基本的微积分就证明了质数是无限的。

图3 )前60个整数的(x )值由以下公式1定义

首先，考虑某个xR以下的素数个数。 其中，r表示实数集合。

式1 )某xR以下的素数。

这个函数称为素数计数函数。 质数可以自由编号，但是在这里按照数值增加的顺序进行编号。

式2 )素数按升序编号。

考虑以下所示的函数f(x )=1/x。

图4 :函数f(x )=1/x

这个函数的区间[1，]内的积分是x的对数：

式3 :从1/x的1到x的积分等于x的对数。

现在，将1/x以下的面积和图中所示的阶梯函数以下的面积进行比较。 稍后将更详细地验证整数。

公式4 :满足以下公式5的x的区间。

满足以下两个不等式：

式5 )不等式需要证明。

其中，最后的和被扩展到所有mN，仅包含素数p，且：

为了便于理解，请考虑n=6这样的例子。 在这种情况下，式4中的区间为x[

6，7]，不等式为：

式6：n=6时，式5的例子。

第一个不等式可以从图4中看出。第二个呢？在这种情况下，在上面的不等式中m∈N的值是哪些？

2、3和5只有一个质数因子。因为它们是质数，所以它们唯一的因子小于6。合数4 = 2×2，6 = 2 × 3只有2和3为质数，且都小于6

加上1后，上面列出的数的倒数（即2、3、4、5和6）的和已经等于式6中不等式之间的和，因为有无限多个m（调和级数发散到∞），满足式6中的第二个不等式。更正式的表达如下：

式7：调和级数是发散的

​现在，算术的基本定理表明：“一个整数只能用一种方式表示为质数的乘积。”因此，式5中的每一个m都可以唯一地表示为以下形式的乘积：

式8：式5中的每一个m都可以唯一地表示为这种形式的乘积。

​其中，k为每个质因数在m的因式分解中出现的次数。因此，式5中1/m的和可以表示为：

式9

​读者可以通过一个例子来验证这一点。括号内的和是一个简单的几何级数：

式10：式9括号内的几何级数。

图5：比值为1/2，第一项为1的收敛几何级数

​式9中的乘积是除以所有小于或等于x的质数。因此，将式9与式1比较，可以得到式 5：

式11：利用式9得到式1。

​因为下面的不等式一般是成立的：

得到了：

这意味着：

由于log(x)是无界的，如下图所示：

图6：log x函数

​素数函数π(x)也没有界限。因此，我们得出结论，存在无数个质数。

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