因此，这里不说明圆锥曲线作为公有双曲线的性质。 下面介绍一般双曲线独特的性质。 双曲线最独特的性质是有两条，具有封闭性，而且有渐近线。
p是c上的动点，超过p的直线渐近于a、b，且AP=kPB。
这条直线和c的另一个交点是q。 过了p的c的切线是两条渐近线与c相交，过了d.p成为渐近线的平行线和另一条与e、f相交。 过p与CD垂直的直线交叉坐标轴在I，j上。
1直线和双曲线最多有几个交点？ 与双曲线有一个交点的直线一定是它的切线吗？
过了两点，做直线，这条直线和双曲线只有一个共同点。 这样的直线最多能做几条？
如果通过3对称轴上的一点来绘制直线，则被双曲线切断的弦长是恒定的。 这样的直线最多有几条？
用k表示OAB面积
比较5AP和BQ的大小
6 P到渐近线的距离之积一定吗？
7 PE*PF是一定值吗？ OEF面积一定吗？
判断8CP和PD的大小关系，求出OCD面积
9点m、n位于放射线OA、OB上，且OMN的面积恒定，求出MN中点p的轨迹
要求10证明书： CIDJ共圆。
1、直线与双曲线最多有几个交点？ 与双曲线有一个交点的直线一定是它的切线吗？
解：设直线y=kx m，代入双曲线消除y，代入椭圆联立结果即可得到。
很明显是二次方程式，最多有两个解，所以直线和双曲线最多有两个交点。
只要有唯一的解，除了切线满足判别式为0以外，还可以是二次项系数为0，即这条直线与渐近线平行。
注：
(1)在不准确的作图中，直线和双曲线经常有四个交点。 从代数上看，很明显直线和双曲线最多只能有两个交点。 这体现了数形结合的威力。 因此，在绘制双曲线时，为了准确起见，最好预先创建渐近线。
)在几何和代数上都很容易明白，与渐近线平行的直线和双曲线只有一个共同点。
2、过了一点做直线，这条直线和双曲线只有一个共同点。 这条直线最多能做几条？
解：如果过了一点再做直线，这条直线就只能和双曲线有一个共同点，除了可以做的两条切线之外，还可以做两条平行于渐近线的直线，所以这样的直线最多有四条。
注：
进一步细分，在点位于不同的区域的情况下，满足条件的直线也可以是0、1、2、3、4条
3将对称轴上的一点做成直线，使双曲线切断的弦长一定的直线最多有几条？
解：只与一根双曲线相交，如果给出弦长，这样的直线最多有两条。 与两条分开相交时，这样的直线最多有两条。 因此，这样的直线最多有4条。
注：
从几何学的意义上来说，本结论很容易理解。 当然本结论也可以用弦长公式代数计算来证明，但是代数证明还是比较严密的。 但是有点麻烦，不太直观。
注：该结论简洁优美，内涵深刻，许多考题都是该题的特例，如2009年高考陕西卷21题等。 考虑使用定点式求p的坐标，带入解析式得到等式即可。 面积公式如果不习惯抛物线问题36的结论，用定义导出也不是很困难。
5、比较AP和BQ的大小
解：设AP=BQ，AQ=mQB，且mk，从4中得到
c">注：本结论等价于PQ和AB中点重合，当然也能通过和椭圆中类似的联立方程利用韦达定理证明，这里就略去了。
注：
(1)同上题类似，本题也就是求出坐标，然后计算即可。
(2)本题中面积的计算用坐标公式比较简单，当然也可以用定义，会稍微麻烦一点。不过也就展示了本题中两个结论之间的关系：△OEF的面积就是0.5OE*OF*sin∠EOF。所以他们之间是可以直接互相推导的。事实上，上题结论也可以与他们互推，因为P到OA的距离为
PFsin∠EOF。还要注意本题中平行四边形的面积也为定值，因为它是△OEF面积的两倍。
(3)当然这些结论也都可以利用第1题的结论及相似三角形面积性质得到，不过感觉有点舍近求远了。
8 、判断CP和PD大小关系，并求△OCD面积.
注：
(1) 本结论优美迷人，浑然天成，人见人爱，不可多得。
(2) 由中位线定理知OCD面积为OEF面积得4倍。因此本题结论和上题也是你中有我，我中有你，可以互相印证。
9、点M，N在射线OA，OB上且△OMN面积为定值s，求满足MP=kPN(k为定值)的点P的轨迹。
思路分析：本题相当于第一题的逆命题，因此估计轨迹为双曲线，OA、OB为渐近线，因此以O为原点，AOB内角平分为x轴正半轴建立直角坐标系，则
显然点P的轨迹为双曲线。
注：本题是第1题的逆命题，结论合情合理，证明也完全如法炮制。
10 、求证CIDJ共圆。
思路分析：由对称性，只需证明CI⊥ID即可，
证明：
本节讲解了一般的双曲线所具有的10条特殊性质，因为双曲线独特性是首先它有有两支，其次它有渐近线。所以基本特殊的性质都和渐近线或者两支有关的，本文主要讲解了与渐近线有关的几个问题，这些问题相对难度不高，因为毕竟渐近线方程比较简单。而且仔细思考可以发现他们之间是互通的，其中性质4最重要，后面的性质5,6,7,8,9几乎都是由它产生的，基本都是其特例或推论。当然性质8最漂亮，也最常见。