一阶线性微分方程是微分方程中最简单最基本的,乍一看似乎很无聊,但其背后的数学原理值得我们学习和借鉴,所以本篇将进行学习和探讨。 我希望对大家有帮助。
建立一阶微分方程
的右端函数f(x,y )关于y是线性的,其中函数a(x )和b ) y )在区间x中连续,此时,对应的微分方程式为
这样的微分方程被称为一阶线性微分方程,非线性微分方程被称为非线性微分方程。
下面的一阶微分方程称为一阶线性微分方程
下面的一阶微分方程称为非线性微分方程
本文的内容是求解一阶线性微分方程[1]
如果设b(x )=0,则线性微分方程(1)为
2 )式被称为齐次线性微分方程,该方程也是变量分离的方程,所以用变量法求其一般解是(请和朋友一起计算一下。 很简单) )。
在这里,c是任意常数,为了导出一般的线性微分方程(1)的解法,结合下面的线性微分方程)的一般解进行一点分析,上式表示为
如果对x求导数,马上就能得到
命令如下式
则得:
或获得:
(x )不等于0,所以得到
由于该微分方程实际上是齐次线性微分方程式(2),所以如果将上述步骤反向进行,则根据)7),将函数) x ) )乘以线性微分方程式7的积分因子),则得到式)6),式)5)
2 )如果b ) x )不等于0,则线性微分方程式(1)被称为非齐次,为了采用上述积分因子法,)以与其等价的形式书写1 )
使用积分因子
如果乘以式(8)的两端
又的
两边取积分的话,可以得到通积分
这里,由于c是任意常数,所以方程式(8)的一般解为
/求解如下微分方程式
其中,k、、p都是正的常数。
这是一个非齐次线性微分方程,其积分因子为
如果在此基础上加上微分方程的两端
再取不定积分,就能得到
因此,当求出微分方程的一般解时
进而通过计算右边的不定积分
其中,c是任意常数。
希望大家有兴趣进行讨论