“数字并不能说明一切，

但是，一切都需要用数字证明。 ”

——执拗的黑裤子

这是屠夫的第282篇原创，全文3000字

阅读时间为8分钟，读完之后别忘了【好啊】

我睡不着钱。 肉铺早上好。

更新频率超低(几乎以年为单位)，但篇爆胎的《投币赌博》系列玩了多次蒙特卡罗模拟：

说的是第一枚硬币、“倍率”第二枚硬币、“概率”第三枚硬币、“合理”第四枚硬币、“仓库管理”

但是关于蒙特卡罗模拟本身，屠夫每次只有两句话：

蒙特卡罗模拟也被称为统计模拟法……blablabla……

爱学习的朋友自然不甘心，在交流小组里主动提问：

既然答应了就做，今天我们来谈谈蒙特卡罗模拟吧。

01 从求值说起

说起圆周率，很多人脱口而出的数字是“3.14”。

怎么求呢？

教科书上说，古希腊的阿基米德、古代中国的刘徽章、祖冲之都使用了“用反复数值逼近”的方法。

简单来说，用圆的内接或外接多边形进行近似，求出圆周率 3.14。

有其他解法吗？

是的，有蒙特卡罗法等。

先找张正方形的纸，在上面画它的内切圆(与四边都相接) )吧。

我们在纸上随机打点。 有的落在圆里(x个亮点)，有的落在圆外。

如果我们的击球数量足够多，例如有几百万个的情况下，用圆内点的个数(x )除以所有点的个数) xy )，就是内切圆的面积与正方形面积之比。

x/(xy )=S圆/S正方形

圆的面积为s圆=*r^2，正方形的面积为s正方形=(2r ) ^2(正方形的边长为2r，因此上述等式如下。

=4x/(xy ) )。

另一方面，x和y是已知的，应用上述公式可以求出。

也可以使用同样的手，求出不规则图形的面积。

如果能确定“随机点是否在图形内”，就可以求解

——完全不需要微积分的知识：

很暴力吗？

02 为什么需要蒙特卡洛？

上例很好地展示了蒙特卡罗模拟的特点。 通过生成随机样本得到近似解。

随机样本的数量越多，越接近现实，近似解就越接近真实的结果

——这是用电脑进行“暴力运算”的方法。

蒙特卡罗模拟有简单和迅速两大优点。

简单是因为省略了模糊的数学推导，普通人容易理解；

之所以这么快，是因为确定概率模型后的运算完全交给了计算机。

有好处，但是在什么情况下应该使用它呢？

有必要了解“直接法”和“间接法”。

直接法是指给出一个模型，调整模型中的各个参数，尽可能多的模拟结果。

《投币赌博》系列是最经典的直接法：

【模型】只有正反两个结果，每个游戏的结果相互独立，害羞的豆芽资金相互独立，

资金耗尽或为负出局

【参数】正反的概率、对错的赔率、最大最小下注额、每局下注策略、害羞的豆芽人数、赌博局数

【结果】每个害羞的豆芽结束时的资金余额情况

所谓间接法，是给定一个模型，随机模拟大量结果，反求和模型相关的某个参数。

上面求π值的例子，用的是间接法：

【模型】正方形面积公式 + 圆面积公式

【结果】落在内切圆里的点有x个，落在圆外的有y个

【参数】圆面积公式里的π

直接法的逻辑是：有模型，有参数，随机模拟的结果才是我要的。

间接法的逻辑是：有模型，有结果，模型相关的参数才是我要的。

无论是直接法还是间接法，蒙特卡洛模拟的基础是模型。

这种方法，其实有更深刻的思想内涵。

03 蒙特卡洛背后的思维

蒙特卡洛方法以“建模”为基础，其实蕴含着两种关键性思维：抽象和拆解。

先说说「抽象」。

抽象思维的背后其实有两种逻辑：归纳和演绎。

归纳，是“从个别到一般”：从多个实例提取出规律。

演绎，是“从一般到个别”：将规律应用到具体实例。

比如说掷硬币这事 ——

咱们可以通过日常观察，得出“掷硬币通常只有正反两种结果”，这是归纳；

而将这条规律设定为限制条件，从而让每次模拟结果都服从于它，这是演绎。

一般人只能捕捉现象，投资者需要把握本质。

现象和本质之间的来回切换，需要抽象思维。

从已观察过的「现象」中提炼出「本质」，再生成更多未观察过、但服从「本质」的新的「现象」，就是蒙特卡洛方法的精髓。

再聊聊「拆解」。

我们身处一个VUCA世界：集 易变性（Volatility），不确定性（Uncertainty），复杂性（Complexity）和模糊性（Ambiguity） 于一体。

现实问题大多是复杂而模糊的，这需要我们进行逐步分析，把问题拆解成一个个相对简单的因子。

就拿π值计算的例子来说吧，面积公式 S圆 = π*r^2 和 S正方形 = (2r)^2 其实就是一个拆解的过程。

借助这两个公式，图形面积被拆解成π、半径r和边长2r，我们才能在后面的计算中把π值和圆内点个数x、圆外点个数y建立起联系，从而求出π。

一般人害怕复杂和模糊，投资者善于分析挖掘。

财务分析里经典的「杜邦分析法」，就是运用拆解思维将笼统庞大的ROE（净资产收益率）进行解构，转换成若干个易理解、好衡量、可提升的指标。屠夫在第一次学习的时候，由衷地折服于这套方法背后的拆解思维。

蒙特卡洛以“建立模型”为基础，对抽象思维和拆解思维有很高要求。

抽象，是以归纳演绎，联通现象和本质；

拆解，是靠分析挖掘，对复杂问题解构。

投资者固然需要提升自己的思维能力，但是光讲这些也未免太“虚”了。

蒙特卡洛模拟有更具体的投资应用吗？

有！

04 投资里的蒙特卡洛

投资年限长点的人，应该听说过压力测试。

所谓压力测试（Stress Testing），是指将资产组合置于某个特定的极端情况，测试该组合在这种情境下的表现状况。

比如利率突然上升100个BP（Base Point），又或者某类货币突然贬值30%，再或者股市暴跌50%，都可以作为压力测试的假设条件。

这些极端情况可以是历史曾经发生过，也可以是未发生过的，毕竟

—— 撞上冰山前，泰坦尼克号从未撞过冰山。

没错，这种“大开脑洞”的情形，真的很适合蒙特卡洛模拟。

就拿上面的例子来说，我们可以对未来一年的沪深300做一些假设*：

上涨20%以上的概率为20%上涨10%~20%的概率为30%上涨不超过10%的概率为35%下跌10%~20%的概率为10%下跌20%以上的概率为5%

*屠夫注：以上数据纯属瞎拍，实际假设前请至少参考一下历史数据

而通过历史数据回测，得知你的投资组合相对于沪深300的β值约为1.25*。

将上述假设的上涨/下跌幅度乘以1.25，就能计算出你的组合在未来一年的收益期望。

*屠夫注：也就是说，沪深300上涨1时组合上涨1.25，下跌1时组合下跌1.25

把更多因子考虑进去，可以建立一个更复杂（也可能更脆弱）的模型。

通过各个因子的概率分布，我们可以模拟出成千上万种可能性，再去检查我们的投资组合是否在所有可能性下都安然无恙。

回过头来重看《可怕的风趣的鸵鸟公式》一文，其实是对仓位控制策略的一次压力测试。

在这个测试里，「固定下注」和「xydlz」都只能做到线性回报（只能靠堆砌时间来增加获利），只有「风趣的鸵鸟公式」做到指数回报，实现真正的复利效应。

除此之外，马丁派战术还有一定的破产爆仓风险（1000人只有828个活到第1万局），而风趣的鸵鸟公式相当安全（1000人全部活到最后），这可是个非常重要的决策依据。

怎么样，蒙特卡洛模拟还是挺有帮助的吧？

05 写在最后

为了减少对阅读者的数学和编程背景要求，本文省略了很多细节。

真要考究起来，这个话题的篇幅足以够上一篇小论文。

可咱们又不是做学术研究，所以屠夫也就省了这种功夫啦。

对于只为学习方法、升级认知的人而言，本文把蒙特卡洛方法和背后的思维，大致讲明白了。

在实际应用中，蒙特卡洛模拟还能有很多有趣的玩法，留给大家自己摸索，细细品味。