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方差分析(ANOVA )是用于将变量的总变化分解为由不同来源引起的部分变化的统计过程。 回归分析使用方差分析来确定一个或多个参数在变量变化解释中的作用。 方差分析中进行的重要统计检验方法是f检验。 f统计量检查线性回归中的所有梯度系数是否为0。 在具有一个自变量的回归中，将验证原假说H0:b1=0(预备选择假说Ha:b10 )。
为了正确决定梯度系数为0的原假设的检验统计量，有必要知道以下事项。
观察总数(n )；
推定的参数总数(独立变量回归中，该数为2 )截距和斜率系数) )；
残差的平方和，简称为SSE。
回归的平方和，简称RSS。 这个值是回归方程中y的总变化量。 如下所示。
总变化(TSS )是SSE和RSS的总和。
用于判断梯度系数是否全部为0的f检验是基于这四个值构建的f统计量。 f统计量说明回归公式随变量变化的程度。 f统计量为平均RSS与平均SSE之比。 平均RSS通过将回归的平方和除以估计斜率参数的数量来计算。 一元回归的值为1。 平均SSE通过误差平方和除以观察数n减去估计参数总数后的值(一元回归该值为2 )截距和斜率)来计算。 这两个因子是f检验的自由度。 如果有n个观测值，则将假设梯度系数为0的f检验表示为f(#梯度系数)，(n#系数)=F1，n-2，该检验具有1和n-2的自由度。
例如，假设回归模型的自变量不说明变量引起的任何变化。 然后，回归模型的预测值￣yi是因子y的平均值。 在这种情况下，回归平方和(RSS )为0。 因此，f统计量为0。 如果参数的解释因变量而异，则f统计量的值会变小。
一元回归的f统计量计算公式如下
如果回归模型很好地解释了变量引起的变化，那么f统计量应该很高。 这是因为，如果对每个自由度进行平均，则可说明的RSS比不可说明的变化要大得多。 几个重要值的f统计量可以查表得到。
共同基金的业绩通常根据基金是否有正的阿尔法值，即风险调整的超额正回报来评价。 一种常见的风险调整方法是基于资本资产定价模型。
(射频-射频)=II (射频-射频)i
其中RF是无风险收益率，RM是市场收益率，Ri是共同基金收益率，i是基金贝塔系数。 i=0时，基金风险调整后的超额收益为零。 i=0时，调整公司(Ri-RF )=i ) Ri-RF )i后，得到e(ri )=RFI(RM-RF )。 这意味着I可以完全解释该基金的超额收益。 i0的情况下，该基金的收益超过了i的预期。
总之，要验证基金是否具有正的阿尔法值，必须验证原假设：基金没有风险调整后的超额收益(H0:=0)，相关初步假设：基金有风险调整后的超额收益)
案例Dreyfus基金的绩效评价
下表显示了2013年1月至2017年12月，Dreyfus基金的超额收益率。 该回归的估计￣I为0.9306。 表明Dreyfus基金的风险低于整个市场。
1、检查该基金是否有较大超额收益。
通过该回归推测的阿尔法(^)为负(-0.0035 )。 由于该系数的绝对值几乎是该系数标准错误尺寸的3倍(0.0012 )，因此该系数的t统计量为-2.9167。 因此，原假设(=0)可以拒绝该基金为未超过市场平均水平的显著超额收益。
阿尔法的估计值为负，意味着该基金的实际收益低于贝塔系数所贡献的收益。
2、在t检验的基础上，探讨基金的贝塔系数是否有可能为零。
由于该回归中梯度系数的t统计量为30.3127，因此该系数的p值小于0.0001，几乎为零。
因此，该系数真值为0的概率非常小。
3、计算f统计量。 根据f检验的结果，判断基金的贝塔系数是否有可能为零。
该案例的ANOVA表提供了计算f统计量所需的数据。 如下所示。
观察值的总数(n )为60；
估计参数为2 (截距和倾斜度)；
残差的平方和SSE为0.0046；
回归平方和RSS为0.0729。
因此，用于检查倾斜系数是否为0的f统计量为
0.0729/1/[0. 0046/(60-2 ) ]=919.17
方差分析结果表明，该f统计量的p值小于0.0001，与梯度系数t统计量的p值完全相同。 因此，在一元回归下，f检验的结果是我们通过t检验得到的。 另外，f统计量(919.17 )为t统计量) 30.3127 )的平方。
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