举一个例子。
函数f(x )=3x 4为多项式函数(线性函数)时,an=3n 4为多项式数列,实际上为等差数列。
因此,有第一个明确的结论。 等差数列是多项式数列。
当然,多项式数列的范围略大于等差数列。
也可与等差数列类比,考虑多项式数列的公差。
如果一次多项式数列an=3n 1,则公差为常数3
神说:推测数学比证明数学重要得多。 所以我推测出了第二个结论:
n次多项式数列前后项之差为n-1次多项式数列
(前后项是我非常快的表达,规范的记述,应该是各项和前项的差) )。
如何求出多项式数列的前n项之和?
多项式数列是
所以,我们合计时按项目合计就可以了。
他们要背的公式如下。 ()被老师强制的) )。
更高层次的……我在考试的时候选择了放弃!
-indent: 2em;margin: 0px 0px 0px;">别介,到了这里,还让你选择放弃,那是我的错了。
你不看下去,绝对是看不起我,觉得我写不出你能看懂的数学吗?
我们看
是怎么算的,然后把方法同样推广即可。
我们发现,这个计算过程其实利用了更高一次(n+1)的展开式,再叠加即可。
用同样的方法,我们可以计算
再代入已知的公式化简即可!
依次往高次算,虽然计算比较繁琐,但真的可以算出我们需要的任意次求和公式。
也正因为这个计算比较繁琐,我们高考只敢要求最多到二次。(就算不会推导,背也背下了对吧。)
竞赛也很喜欢玩这个,当然就不会局限于二次啦。
为什么考试和竞赛都喜欢,因为这个解法看上去非常帅气,用到了二项式定理,还用到了叠加法,计算量又大能淘汰许多人。
但是,氮素,我极度不喜欢这个解法!因为这个解法除了考试能考倒考生外,毫无用处。
我有更漂亮简洁的算法。
下面是表演的时间了。
我们已经知道,如果f(x)是n次多项式,则f(x+1)-f(x)是n-1次多项式(见前结论二)
搞定!问题转化成求高一次的多项式函数即可,解方程即可搞定,计算量小好多。
是不是爽很多,用一个解方程替代复杂的求和符号,合算到不要不要。
别急着点“再看”哦,我还有更漂亮更简洁的解法。
我们发现,多项式数列an的前n项和也是一个多项式数列,但次数更高一次而已,因此我们完全可以用待定系数法直接求出来!
简单粗暴,直截了当,岂不是独孤九剑!
什么?你觉得这个方程不好解,计算量比上一个解法只多不少。
好吧,我输了。