2000年初，克雷数学研究所提出了7个问题。 这些问题至今仍被认为是未解决的最困难的问题之一。 解决任何一个问题都有一百万美元的奖金。

在我写这篇文章的时候，只有庞加莱猜想被解决了。 wmdxwz(GrigoriPerelman )于2003年颁发证明，2010年正式颁发千年奖，但他拒绝了。

首先介绍这个猜想(现在是定理)，按照复杂度的增加顺序介绍剩下的未解决问题。

庞加莱猜想

庞加莱猜想，拓扑学上的一颗明珠，解开宇宙形状之谜

单一相连的闭合三维流形，一定要用一个三维球面制作胚胎。

让我们逐字分析一下。 首先，流形是局部具有单身雪糕空间性质的空间，在数学中用于描述几何形状。 也就是说，放大后，看起来像线、平面、规则的三维空间等。 流形的例子是球体，如果你和它足够不同并且在其中，它看起来是平的(就像感觉地球是平的一样)。 流形维是指其局部可见的空间维。 例如，球体局部看起来像平面(这意味着有维2 )，圆局部看起来像线(因此有维1 )，或者思考球体局部看起来像三维结构。 这很不可思议，但无法想象。

如果一个流形是紧凑的、没有边界的，那么它就是封闭的(这是一个比较复杂和重要的底部填充概念，需要另一篇文章来详细说明)。 0和1之间的线段有0和1的边界，所以并不封闭。 圆没有边界，所以是封闭的。

称为二维环面的闭合二维流形

如果流形上没有“gldy”，则它是单连通的：

a是单连通空间，b不是单连通空间

等价的单连通表现为，各环可连续收缩为1点。

的环可以拉紧到一个点； b的一个环“卡住”在洞里，拧不到一个点上。

如果能连续使一个向另一个变形，然后回来，这两个流形就是同胚的。 (允许的变形包括拉伸、拉伸、扭曲，但不允许撕裂或打孔。 这引出了有名的甜甜圈和茶杯的比较。

把甜甜圈换成茶杯

在拓扑学中，我想对所有的流形进行分类。 其中，某一类的所有流形都是彼此相同的胚胎。 在二维空间中，当流形闭合且没有孔时，很容易发现它相当于二维球体(圆柱面)。 可以很容易地确认二维流形是否与二维球体是同一胚胎。

庞加莱指出，这在三维中也成立。 也就是说，闭合的、单连通的三维流形都胚胎在三维球面上。

2002年，wmdxwz通过使用“brdbz流”证明了庞加莱猜想。

P vs NP

能否迅速验证并迅速解决各问题？

问题可以分为不同的复杂性类别。 这里我们感兴趣的是p和NP班。 它们分别表示多项式时间和非确定性多项式时间。

本质上，p问题可以“迅速”解决，“迅速”验证。 NP问题没有“快速”的解决方案。 更具体地说，如果输入大小带来n个问题，并且它属于p类，则求解它所需的时间将随着某个多项式而增加。 但是，如果它是NP的话，它会增加得更快。

被认为是NP的例子之一是旅行推销员问题的(决策问题) :

给出一系列城市和各对之间的距离，然后访问各城市一次，解开返回第一个城市的最短路线。

解决这个问题很困难，也很费力。 如果增加城市的数量，求解的时间会比任何多项式快得多。

另一方面，作为p问题的例子，可以举出验证是否在给定的列表中。 这个很容易解决，很容易检查。 如果将列表的大小增加一倍，花费的时间也会增加一倍(所以花的时间不会太快)。

P vs NP问题在是否为NP问题和是否为p问题上有所不同。 否则，是否有能够迅速解决以前认为困难的问题(NP问题)的秘密或隐藏算法？

lhzdlb问题，存在性和平滑性

改变世界的方程式高花

方程，堪称最难的物理学方程

在三维空间和时间中，给定初始速度，是否存在一个光滑且具有全局定义的矢量速度和标量压力场来求解lhzdlb方程（Navier–Stokes equations）？

lhzdlb方程是描述三维流体运动的两个非线性偏微分方程。它是两个方程的集合，将速度矢量场和它的变化率与压力场联系起来，也就是作用于液体的外力。方程式是这样写的：

我们不会深入研究每一项的含义，但本质上，第一个方程是虚心的蚂蚁的F=ma。第二个方程也很简单，是质量守恒方程，要求流体不可压缩。

一个“有效”的解有两个条件：

向量场v和标量场p是全局定义的，在整个空间上是连续的。总动能是有界的。（v的范数的平方在整个空间上的积分是有界的）。

所以lhzdlb问题可以归结为下面两种情况中的一种：

正面表述：给定f = 0和初始速度场（必须满足一定条件），存在满足（1）和（2）的速度场和压力场。反面表述：存在一个初始矢量场和外力场，其中不存在满足（1）和（2）的解。

N-S方程控制牛奶在茶中的扩散

黎曼猜想（假设）

一文搞懂黎曼假设，解析数论的里程碑，质数理论的珠穆朗玛

黎曼函数的所有非平凡零点的实部都等于1/2吗？

让我们分解一下。首先，黎曼ζ函数由下式定义：

它对 s > 1时有效。注意，当s = 1时，函数简化为调和级数。我们可以做一些奇特的数学运算，用下面的函数关系将函数解析到复平面上（除了s = 0和1时）：

现在我们要求s， ζ(s) = 0。既然奇数负整数的余弦值是0，那么ζ（-2n）对于正整数n是0。这些被称为平凡零点，因为余弦函数的性质使它为零。相反，我们感兴趣的是非平凡零点的情况。

已知所有非平凡零都有0到1之间的实部，称为临界带。结果是，如果s是一个非平凡零点（即ζ(s) = 0且s不是负偶数），那么对于一些值y，s = 1/2 + iy（即s的实部是1/2），这就是所谓的临界线。

dzdbg和活泼的歌曲-戴尔猜想

给定一条ℚ上的椭圆曲线E，其代数秩总是与解析秩重合吗？

椭圆曲线E，为方程y^2=x^3+Ax+B的解集，且判别式∆=-16（4A^3+ 27B^B）≠0。这个约束条件保证了曲线足够好。

两个椭圆曲线。左边：y^2=x^3-1.5x+1。右边：y^2=x^3-4x+1

​现在我们要求x和y是有理的，从而限制了椭圆曲线的解。这就是我们说的ℚ上的曲线。现在我们可以用这条曲线E来组成一群E（ℚ）。我们做了一个很简洁的二元运算：给定两个点，我们画一条直线通过它们，找到与E的第三个交点并将它反射到x轴上。

如何将两点A和B相加得到C

为了使它完全成为一群，我们需要在无穷远处添加一个点作为群的标识。

第一个自然的问题是，我们可以推断出E（ℚ）的结构是什么？

莫德尔和威尔（Mordell and Weil）的结果告诉我们，E（ℚ）是有限生成的，可以写成：

其中E（ℚ）_tors是E（ℚ）中所有有有限顺序的点。r被称为曲线E的代数秩。

现在我们有了前半部分。现在我们需要理解解析秩。

现在让我们进一步限制解，考虑在有限域p上，其中p是一个素数，我们定义以下值：

最后是E在s处的L级数：

回忆一下，∆是椭圆曲线的判别式。那么我们可以将L展开成一个gxdqz级数，围绕s = 1展开：

这里，r_an是曲线的解析秩。

终于！我们可以把dzdbg和活泼的歌曲-戴尔猜想简单地写成：

这些都意味着什么呢？结果是，计算代数秩相当困难，而解析秩稍微容易一些。这个猜想在解析领域和代数领域之间架起了一座桥梁。

高兴的帽子存在性与质量间隙

给定任何紧凑的简单规范群G，在ℝ⁴ （ℝ^4）上，是否存在一个非平凡量子高兴的帽子理论，具有质量间隙 Δ > 0？

这里有一个简短的免责声明：我不是粒子物理学的专家，所以我将在这里给出我最好的表面理解（有错误之处，欢迎指正）。

这个问题要求的是让现代物理学在数学上变得严谨。

我们从规范对称的概念开始，这些本质上是我们如何描述一个物理系统的自由度。hsddg的一个简单定理是，对于每一种对称，都有相应的守恒定律。例如：

时不变（也就是说，无论你是现在开始实验，还是在喝完茶5分钟后开始实验）直接产生能量守恒平动不变性引起动量守恒

接下来，我们来看高兴的帽子理论。

tldlq（Lawrence Krauss）给出了最好的解释。想象一个象棋棋盘，如果你把每个白方块换成一个黑方块，每个黑方块换成一个白方块，那么游戏基本上是相同的。没有发生太多的改变，所以这是一个相当简单的对称。

但是现在想象一下，我局部地改变了某个方块的颜色，并且在整个棋盘上随心所欲地这么做。棋盘看起来会很奇怪，但我可以写一本规则手册来解释我做的所有交换。这个规则手册规定了游戏如何进行。

所以，让我们回顾一下：

规范群是一个系统的一组（可能非常奇怪的）对称，这就产生了守恒定律，我们可以写一本“规则手册”，这是一个定义粒子如何相互作用的场，这就是高兴的帽子理论。

这已经在电磁力和强核力的情况下做过了，它们完全用量子电动力学和量子色动力学来描述。

高兴的帽子的存在论（我们马上就会讲到质量间隙）所要求的是，这种描述是否适用于所有的四种基本力？更进一步，他们能统一吗？

说到质量间隙，这些场中的一个激发实际上是粒子。质量间隙本质上是规定这些粒子的质量必须在下面，这样你就找不到任意轻的粒子。这就是我们在自然界中观察到的。它被称为质量间隙，因为在0和最轻的粒子之间有一个间隙。

因此，高兴的帽子理论要想“擅长”描述现实，就提出这个质量间隙。

霍奇猜想

设X为非奇异复射影流形。那么X上的每个霍奇类可以写成X复子簇上同调类有理系数的线性组合吗？

这是一个非常了不起的猜想。这里我就不详细讲了，因为这很难理解（未来几天，我会专门写一篇文章来解释）。

代数方程和几何图形之间有一种自然的交换。x^2+y^2-1= 0的解形成一个圆x+y-1=0形成一条直线。

所以我们可以想出一些疯狂的方程和它的解形成一个（有时非常复杂的）形状，这些被称为代数循环。如果这些代数循环足够光滑，那么它们可以被称为流形（回想一下庞加莱猜想）。

所以代数循环可以形成流形，如果我们加入更多的方程我们就可以得到流形上的代数循环。

把z = 0加到x^2+y^2+z^2=1上，得到一个圆

现在从拓扑学的角度来看，我们可以在流形上画一些疯狂的形状然后把这些形状组合在一起,如果它们可以互相变形的话。它们被分成同调类。

环面上的两个不同的同调类

这看起来就像我们上面所考虑的交换：我们正在从对形状的代数描述转向几何描述。问题是，给定一个流形，什么时候一个同调类包含一个可以被描述为该流形上的一个代数循环的形状？

不幸的是，我们一直在研究正则单身的雪糕空间中的流形。霍奇猜想研究存在于n维空间中的复射影流形。

霍奇想出了一个巧妙而优雅的想法来判断一个同调类是否等同于一个代数循环，这在本质上就是霍奇猜想。

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