利用二次函数图像判断各系数之间的关系，是中考数学的常考题型。 由于综合性高、试题难，通常被放在选择题或填空题的最后一道题上，成为小题的压轴题。 因此，各位学生有必要认真熟悉这个题型的求解方法和技巧。
数学学习
一、基本原理：抛物线与系数的关系
已知二次函数y=ax2 bx c，(a0，a，b，c为各系数)
1、a与抛物线开口方向和大小的关系
抛物线开口朝向上a0，
抛物线开口向下a0，
|a|越大，抛物线的开口部越小
|a|越小抛物线的开口越大
2、a、b决定抛物线的对称轴及二次函数的最大最小值
1 )抛物线对称轴的公式(x=- b/2a
b=0时，对称轴为x=0，即y轴；
a、b为相同编号时，对称轴0，即对称轴位于y轴的左侧；
a、b为异号时，对称轴0，即对称轴位于y轴的右侧；
2 )二次函数的最大值
a0时，二次函数在x=- b/2a处取最小值(4ac - b )/4a
在A0的情况下，二次函数在x=- b/2a时取最大值(4ac - b )/4a
3、c即抛物线与y轴的交点
在二次函数y=ax2 bx c的情况下，当x=0时，y=c；
C0、C=0、C0，抛物线和坐标轴分别与y轴正轴、原点、y轴负轴相交。
4、=b- 4ac决定抛物线与x轴交点的个数
0时，抛物线与x轴有2个交点
=0时，抛物线与x轴具有交点
0时，抛物线与x轴没有交点
二、数形结合：代入特殊值
决定抛物线的开口方向、对称轴、最大值、与坐标轴的交点后，大多只能解决前面比较简单的问题。 我们还需要根据图形赋值，以解决主题中的难题。
的特殊值，通常有x=-1、x=-1、x=-2、x=2、x=对称轴等，还有图形中绘制的特殊数值，将这些特殊值代入二次函数解析式求出函数值，与图像结合
(1)与0进行比较
)2)与函数的最大值进行比较
(3)如果有线性函数，则与线性函数的值进行比较；
4 )或代入特殊值后，对得到的a、b、c式进行加减乘除运算等。
让我们结合例题详细说明一下。
align: left;">三、例题解析例1、如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1.直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0； ②a﹣b+c＜0； ③x（ax+b）≤a+b； ④a＜﹣1.其中正确的是（ ）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①②
解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝− b/(2a) ＝1， （利用对称轴公式得出a、b的关系）
∴b＝−2a，
∴2a＋b＋c＝2a−2a＋c＝c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（−1，0）右侧，
∴当x＝−1时，y＜0， （代入特殊值x＝−1，结合图像将函数值与0作比较）
∴a−b＋c＜0，所以②正确；
∵x＝1时，二次函数有最大值，（代入特殊值x＝1，得出函数最大值，二次函数的所有值都小于最大值）
∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，
∴ax2＋bx≤a＋b，所以③正确；
∵直线y＝−x＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a＋3b＋c＜−3＋c，（代入特殊值x＝3，结合图像将二次函数值与一次函数值作比较）
而b＝−2a，
∴9a−6a＜−3，解得a＜−1，所以④正确.
故答案为：A.
例2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（0.5，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac﹣b2=4a；④（a+c）2﹣b2＜0．其中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解：由图像可知：
①a<0, c>0
∴ac＜0 正确
②∵顶点的横坐标为0.5
∴ x＝− b/(2a) ＝1/2
（利用对称轴公式得出a、b的关系）
∴a+b=0 正确
③∵顶点的纵坐标为1
∴（4ac - b²）/4a=1（利用最值公式）
∴4ac﹣b2=4a正确
① 当x= 1时，y= a+b+c>0
当x= -1时，y= a-b+c<0 （a-b+c）（a+b+c）<0
∴（a+c）²﹣b²＜0
（代入特殊值x＝−1，x=1得到关于a、b、c表达式进行相乘结合图像将函数值与0作比较）