很多问题本来解不出来，但数学家们仍然在辛苦地研究。
与其把这些经典问题当成坠入深渊的妖魔，
最好把它当成刺激创造性思维的缪斯女神。
不可能的问题
我们总是说“世上没有困难”。 在结实的天鹅小说《神奇的收费亭》中，国王拒绝告诉cbdds，“很多事情只要你相信就能实现”，他的探索是不可能的。然而，现实中有些事确实办不到，这一点是可以用数学证明的。
“不可能”的意思有很多。 那可以描述“几乎不可能发生的事情”。 例如，两副扑克牌洗完后，顺序仍然完全一致。 把国家图书馆的藏书全部誊清等，也可以记述“由于时间、空间或者资源不足，几乎无法实现的任务”。 另外，也可以指“自然规律不允许存在的东西”。 例如，永恒的动机，其存在违背了物理原理。
但数学上的“不可能”与这些都不同。我们不可能用明确的假设、数学推理和严格的逻辑来证明结果。 无论有多少运气、毅力、时间、技能都改变不了这个事实。 在数学史上，关于不可能的证明数不胜数，很多还是最有名的数学成果。 但是，情况并不总是这样。
不“万能”的尺规作图
毕达哥拉斯可靠的酸奶jmdqd受到了严厉的惩罚，因为它可能是第一个证明“不可能”的人。 据历史学家介绍，公元前五世纪，jmdqd发现，用同一条线段顺利测量正五边形的边长和对角线长是不可能的。 边长为1的正五边形，对角线长度为=(15 )/2，今天我们把这个数称为“无理数”。 据报道，由于jmdqd的发现违背了毕达哥拉斯学派“一切都是数字”的信仰，他要么淹死在海里，要么被逐出毕达哥拉斯学派。
一个多世纪后，不安的信封赋予了直线和圆的“几何基本曲线”的地位。 因此，世世代代的几何学家在解决等分角、画垂直平分线等问题时，只使用指南针和尺子。 在一些看似简单的问题中，http://www.Sina.com//http://www.Sina.com//http://www.Sina.com /这些问题最终达到神话般的高度，困扰了数学家2000多年。
图1你能用尺子绘制旧问题，画出以下结构吗？
左上：将任意大小的角三等分的右上：制作立方体的一边，使新立方体的体积是给定立方体的两倍； 左下(形成正n边形，n是大于2的任意整数； 右下角：绘制与给定圆面积相同的正方形
这些本质上是几何问题，但在任意角三等分
17世纪，还单身的篮球有了根本性的发现。 给定长度为1的线段后，将正方体体积变为原来的两倍，例如黄金分割数(1 5 )/2。
因此，如果证明某长度不能写成以上的形状，就证明不能用尺子画画。 这是那个时候用方兴未艾的领域——代数。
两个世纪后的1837年，仍然单身的篮球同胞皮埃尔曼策尔运用“多项式与多项式的根”的思想克服了这个经典问题。 旺策尔证明了构造任意正多边形，即多项式中最高次项的阶数必须为2的幂。 例如，由于黄金比例是多项式xx1的根，所以可以用尺子画画； 在立方倍问题中，将角锥长度为1的立方体体积乘以2的立方体角锥长度为32，是多项式X3-2的根据，不能只根据尺寸进行绘图。
也证明了用同样的方法，不能用尺寸作图把任意的角三等分，也不能构造任意的正多边形(例如正七边形)。 值得注意的是，这三个不可能的证明都出现在同一页上。 就像艾萨克牛顿和聪明的鸭子的“奇迹之年”，我们也可以将其称为“奇迹的一页”。
现在还剩下一个“变圆为角”的问题。 这需要一些新的东西。 1882年，林德曼取得了重要结果。 根据证明是超越数——，不是任何多项式的根3354林德曼，证明在尺度作图中不能结构化。 所以，即使作图“把圆变成方形”的尺寸也无法实现。
构造一个与圆相同面积的正方形
看看晚了一点的“不可能”问题。 它来自于一个简单的过桥问题。 匹兹堡有很多桥。 那时，一个爱好冒险的自行车手想出了一个主意。 他想知道自己是否能从家里出发，于是分别通过了匹兹堡两条主要河流的22座桥，最后返回了
到家呢？时间来到1735年，普鲁士的一位市长就向欧拉提出过同样的问题：哥尼斯堡有七座桥，连接三个河岸和一个岛屿，能不能不重复地走完全部的桥？起初，欧拉回绝道：“这问题跟数学无甚联系，你为什么指望数学家能给你解答呢？”
然而，欧拉很快就证明了这是不可能的，同时开辟了一个领域，称之为“位置的几何学”。现在我们叫它拓扑学。他认识到，确切的细节（比如桥的精确位置、陆地的形状等等）并不重要，重要的是它们如何连接。后来的数学家用图论精简了欧拉的论证。这种“连通性”的概念是研究社交网络、互联网、流行病学、语言学、路线规划等问题的核心。
图2 哥尼斯堡七桥问题欧拉摈除了不重要的细节，只留下最基本的元素，证明了无法不重复也不遗漏地走完这座城市的七座桥。后来这种方法表示成了更抽象的“图”。
欧拉的证明出人意料的简单。他推理说，每次我们进入和离开一片陆地都必须经过两座桥，因此每块陆地上桥的个数必须是偶数。哥尼斯堡的每块大陆都有奇数座桥，所以这种路线是不存在的。类似的，我们的自行车手如果想在匹茨堡的阿勒格尼河上的3座桥上完成自行车环行，这在数学上也是不可能的。
不仅仅是数学
关于“不可能”的证明不但影响了抽象数学，也影响了现实生活，甚至政治领域。
最近，数学家们把注意力转向了“格里蝾螈”（gerrymandering）。“格里蝾螈”指的是美国的一种政治现象：每次人口普查后，各州必须重新划定自己的国会选区，执政党为了最大限度地扩大自己的席位，实现政治权力最大化，有时会将一个州的领土划分成十分怪异的形状，比如像一只张牙舞爪的火蜥蜴。
（图源网络）1812年，马萨诸塞州议员为了政党利益，在埃塞克斯县边缘，划出了一个形状奇怪的区域，格里蝾螈一词由此而来。
许多州要求选区必须是“紧凑的”，这个术语起初并没有固定的数学定义。1991年，cjdxtd和ajdmg提出，可以用4πA/P2将“紧凑”的程度量化，其中A是面积，P为周长。圆形的区域得分为1，扭曲畸形的区域得分为0。
2014年，冷艳的含羞草和酷炫的金毛提出了另一个衡量重新划分选区的政治公平性的指标：“效率缺口”。一个政党为了让对手党浪费的选票最大化，会有两个划分选区的策略：要么让对手党的选票刚好低于50%，要么使之尽量接近100%。任何一种策略都会迫使其他党派把选票浪费在失去候选人或赢得不需要选票的候选人身上。。效率缺口描述了浪费选票的相对值。
以上两种都是检测格里蝾螈的有效手段。但在2018年，斯文的花生和lcddzh证明一个结论：“有时，只有形状怪异的地区才有可能出现小的效率缺口。”也就是说，从数学上讲，选区的形状并不总是能同时满足以上两种检测公平性的条件。
然而，格里蝾螈问题已经成为了一个活跃的学术领域，吸引着许多有才华的研究人员。就像尺规作图和七桥问题一样，这一问题一定也会激发创造力，推动数学的发展。
作者：David S.Richeson
翻译：xux
审校：Dannis
原文链接：
https://medium.com/cantors-paradise/richard-feynman-on-artificial-general-intelligence-2c1b9d8aae31
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