摘要：广义频分复用(FDM)是德国5GNOW项目组提出的5G物理层解决方案，采用非矩形脉冲整形。首先，研究了GFDM的基本模型，指出其本质是DFT滤波器组。然后，分别用DFT滤波器组实现OFDM和GFDM多载波调制系统，并分析了它们之间的联系和区别，突出了循环卷积的特点，降低了GFDM的计算复杂度。从CP加入方式和原型滤波器两个方面对GFDM和OFDM进行了比较，指出GFDM使用较少的CP，提高了频谱效率。最后，通过实验仿真，比较了原型滤波器的频响性能和SER性能。强调非矩形滤波器具有更好的频响性能，而GFDM的SER性能较差是因为放弃了子载波的严格正交条件，导致载波间干扰增加。
0简介
正交频分复用(OFDM)因其抗多径衰落能力强、抗符号间干扰能力强、实现简单而在LTE中得到了应用[1]。然而，由于矩形脉冲频谱的Sinc函数旁瓣大、衰减慢，OFDM调制系统存在对频偏敏感、频谱泄漏高、带外干扰大等诸多缺点，严重限制了其在未来无线通信技术中的应用[2]。2009年，德国5GNOW项目组提出了广义频分复用(GFDM)，这是一种具有非矩形脉冲整形的多载波调制系统，利用循环卷积在频域实现DFT滤波器组结构。GFDM使用较少的CP，在一定程度上提高了频谱效率。它的原型滤波器是非矩形脉冲滤波器，可以避免矩形脉冲滤波器的一些问题。本文分别用DFT滤波器组实现了OFDM和GFDM多载波调制系统，指出了它们之间的区别和联系，并详细介绍了GFDM信号处理中的循环卷积。最后，比较了它们的原型滤波器的频域响应性能和符号差错率性能。
1 GFDM的基本模型
GFDM是德国5GNOW项目组提出的5G物理层解决方案。它是一个具有矩形脉冲整形的多载波调制系统。参考文献[3-4]给出了GFDM的发射机系统模型，如图1所示。
传输信号可以表示为：
其中dk[m]为复值数据符号，k为副载波数，m为时隙数，g[n]为副载波滤波器，mN为时延，k/N为频偏，1/N为副载波间隔[5]。
其中，子载波滤波器g[n]在时域循环，滤波器循环是为了让发射机咬尾更容易[5]。
从分析中可以看出，公式(1)的计算复杂度很高，硬件难以实现，显然从时域考虑是不明智的。在频域中对其进行研究，公式(1)改写为：
其中，可以理解为m点周期序列DFTM(dk[m])的n个周期[6]。不难发现，在频域研究GFDM更容易。因为GFDM解决的是非矩形脉冲整形，所以可以理解为滤波器组结构，由DFT滤波器组实现。
2 GFDM与OFDM滤波器组结构的比较
2.1 DFT滤波器组实现OFDM多载波调制系统
当使用矩形脉冲滤波器时，离散傅立叶变换滤波器组变成离散傅立叶变换。具有离散傅立叶变换滤波器组结构的正交频分复用调制系统如图2所示。从滤波器组的角度来看，OFDM可以看作是一个具有DFT滤波器组的多载波频率调制系统，其原型函数是单位矩形函数[7-8]。
2.2 DFT滤波器组实现GFDM多载波调制系统
GFDM也是一种特殊的DFT滤波器组结构，同样采用非矩形脉冲滤波器。由DFT滤波器组实现的GFDM多载波调制系统如图3所示。Gp(z)是DFT合成滤波器组多相分解后的数据矩阵，Hp(z)是DFT分析滤波器组多相分解后的数据矩阵。
离散傅立叶变换的输出通过以下矩阵运算获得，即：
DFT滤波器组使用线性卷积来处理信号。上述分析滤波器组的矩阵运算过程也可如图4(a)所示，为线性卷积数据矩阵运算，但计算复杂度较高，存在较大延迟。GFDM采用循环卷积运算，通过DFT将时域变换到频域，时域卷积变成频域积。图4(b)是GFDM循环卷积数据矩阵运算的示意图。其主要思想是将矩阵块由后向前移动，形成正方形矩阵，用循环卷积代替线性卷积，不仅时延较小，而且避免了卷积运算时的混叠。表1显示了图5中线性卷积和循环卷积矩阵运算的计算复杂度。可以看出，循环卷积在信号处理中具有较小的计算复杂度和较大的优势。
大多数文献从多载波的角度研究了GFDM和OFDM，但很少从滤波器组的角度进行分析。这里的DFT滤波器组的实现可以更好地反映它们的本质和内在联系[9-10]。
CP加入方式与原型滤波器的比较
3.1 CP添加方式的比较
GFDM和OFDM的一个重要区别就是CP是如何加入的。GFDM中D中的所有数据符号被一起调制，而OFDM中的每个dk被分别调制[5]。
OFDM和GFDM信号的循环平稳特性，可以通过循环前缀和符号长度来体现。定义T0为有用的符号周期，TCP为循环前缀周期，假设OFDM和GFDM有着相同的T0和TCP，则整个OFDM的符号周期表示为TS,OFDM=TCP+T0，而整个GFDM的符号周期表示为TS,GFDM=TCP+M·T0，这里的M表示子载波的时隙数。如图5所示，分别表示3个OFDM符号和一个由M=3个有用符号组成的GFDM符号[11-12]。二者的频谱效率可以表示为：
3.2 子载波原型滤波器对比
GFDM和OFDM的另一个重要区别就是子载波采用原型滤波器不同。OFDM采用的是矩形脉冲滤波器，而GFDM采用的是非矩形脉冲滤波器，常用的有升余弦(Raised Cosine，RC)滤波器、平方根升余弦(Root Raised Cosine，RRC)滤波器等。
根据式(3)，[n]是子载波滤波器g[n]的时域循环，图6是RRC滤波器的时域循环。由于GFDM采用滤波器时域循环，使滤波器的尾部很短，从而使发送端的咬尾变得更简单，这也是二者的重要区别[5]。
4 GFDM和OFDM性能比较
通过MATLAB实验仿真，比较GFDM和OFDM的原型滤波器频域响应和误符号率性能，观察实验仿真曲线，得出相关结论。
4.1 原型滤波器频域响应性能比较
图7是矩形脉冲滤波器与平方根升余弦滤波器幅频响应示意图。图中RRC滤波器的滚降因子?琢=0.15，长度为448，子载波数为32。由图可见，矩形脉冲滤波器的第一旁瓣衰减仅为13 dB，而RRC的第一旁瓣衰减达到31 dB，有效地解决了相邻子载波间的干扰问题[14]。这就是GFDM采用非矩形脉冲滤波器的重要原因。原型滤波器的不同不仅是二者结构上的重要区别，也是它们性能上的重要区别。GFDM可以通过改变原型滤波器类型和参数来改变其性能，使其在原型滤波器的选择上更加灵活。
4.2 误符号率性能比较
为了能够更好地比较OFDM和GFDM的SER性能，文献[15]提供了匹配滤波器(Matched Filter，MF)、迫零（Zero Forcing，ZF）和最小均方误差（Minimum Mean Square Error，MMSE）三种均衡方式。
通过MATLAB实验仿真， 在AWGN信道条件下，采用ZF均衡、MF均衡和MMSE均衡三种方式，运用QPSK调制方式，RC、RRC两种滤波器结构，观察OFDM和GFDM的SER性能。子载波数K=128，仿真次数为50，这里采用每M=5个时隙加CP。仿真结果如图8所示。
由图8看以看出，GFDM无论采用何种滤波器，在低SNR时，MF均衡的SER性能是最好的；而高SNR时，ZF均衡的SER性能是最好的。无论在低SNR还是高SNR时，MMSE均衡的SER性能都是介于MF均衡和ZF均衡之间，也就是说三种均衡方式之间存在左右两个临界SNR值。无论采用何种原型滤波器和均衡方式，GFDM的SER 性能都不及OFDM，这是由于GFDM采用非矩形脉冲滤波器，放弃子载波间的严格正交和同步，导致相邻子载波间的干扰增大，从而在一定程度上降低了SER性能，这也是GFDM调制系统的一个不足。
5 结论
本文介绍了GFDM调制系统的基本模型，指出其本质是DFT滤波器组，然后分别用DFT滤波器组实现OFDM和GFDM多载波调制系统，分析了三者的区别与联系。当DFT滤波器组采用矩形脉冲滤波器时，就变成了OFDM多载波调制系统。GFDM也是一种特殊的DFT滤波器组，与一般DFT滤波器组不同的是，它采用的是循环卷积，在数据矩阵计算时，把后面的数据块前移，使其构成一个方阵，具有有更小的时延和更低的计算复杂度。GFDM和OFDM的不同主要体现在CP加入方式和原型滤波器两个方面，前者使用更少的CP，提高了频谱效率。GFDM使用的非矩形脉冲滤波器，从二者的原型滤波器频域响应仿真结果来看，非矩形脉冲滤波器的旁瓣衰减更快。从仿真结果来看，GFDM的SER性能不如OFDM，这是因为其放弃了子载波严格正交条件，导致子载波干扰增大。
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