规则的柏拉图立体

在这个问题中，我们将离开平面，进入三维空间。你一定听说过柏拉图的立方体、正四面体(三角形的金字塔)和正立方体，它们都属于柏拉图的立方体。

【遇见数学】边肖：在几何中，凸的正多面体，也称为柏拉图立体。柏拉图朋友的欢呼信封告诉了柏拉图这些立体，而柏拉图在《蒂迈欧篇》 (Timaeus)中写下了这些立体。

柏拉图的立方体由正多边形组成。例如，正四面体中的等边三角形或正立方体中的正方形。此外，每个顶点上的边数是相同的。世界上只有五个柏拉图立体，命名方法表明它们各有几个面：

正四面体(4个正三角形组成4个面)正六面体(6个正方形组成6个面，即正立方体)正八面体(8个正三角形组成8个面)正十二面体(12个正五边形组成12个面)正二十面体(20个正三角形组成20个面)

【遇见数学】2020数学台历10月设计图

问题来了 ：为什么只有这 5 种柏拉图立体？

乍一看是个复杂的问题。为什么我不能用60个或80个正三角形组成一个封闭空间？为什么正常的七角体不能工作？

答案和以前一样简单。让我们仔细看看柏拉图立方体的顶点。顶点至少由三条边组成。正四面体、正立方体和正十二面体(五边形)正好是三条边形成一个顶点，正八面体是四条边，正二十面体是五条边形成一个顶点。我们可以像折纸一样展开组成这样一个顶点的边，展开后的形状见下页图。

我们可以把所有的边稍微折叠一下，在白色的纸条上涂点胶水，然后贴在对面的边下面，这样就形成了一个顶点。

正四面体的一个顶点和相邻边

如果你仔细观察这些以顶点为中心的图形，你会发现所有五个图形都有间隙。它们还必须有间隙，否则这些多边形不能在空间中组合成一个顶点。组成顶点的边必须稍微折叠以闭合间隙。换句话说，在顶点相交的每个n多边形的内角之和必须小于360。

也许你已经明白为什么等边三角形只能形成三个柏拉图立体了。在正四面体中，三个三角形组成一个顶点，内角之和为360=180；正八面体中有四个三角形，即460=240；二十面体有五个三角形，即5 60=300。如果再加一个三角形，内角之和会达到360，太多了。

正八面体

我们只能用正方形建造一个规则的立方体。三个正方形组成一个顶点，其内角之和为390=270。四个正方形的内角之和是360，对于柏拉图的立方体来说太多了。正五边形的每个内角都是108度。三个这样的五边形内角之和仍然小于360，而四个五边形超出了极限，所以不可能构造出其他具有规则五边形的柏拉图立体。

正二十面体

然而，不仅有正三角形、正方形和正五边形，如果使用正六边形会发生什么？正六边形的每个内角正好是120，所以构成顶点的三个正六边形之间没有间隙，可以铺成一个平面，见下页图。因此，它不能构成柏拉图三维所必需的空间顶点。更重要的是，规则的七边形不会产生空洞。七边形的内角大于120。如果我们把三个规则的七边形放在一个可以形成顶点的平面上，就会有重叠，自然就不会形成三维空间。所有n7的正n-三角形都是这样的。

正六面体、正十二面体、正六边形组成的固体。

我们上面使用的折纸技术可以证明，除了这五个已知的柏拉图固体之外，没有其他的柏拉图固体。这个证明比毕达哥拉斯定理稍微难懂一点，但它让我们能够运用空间思维，充分利用年轻时玩折纸模型的经验。这就是我喜欢它的原因。

然而，

当我最近参观哥本哈根附近的方舟现代艺术博物馆时，我曾有过短暂的怀疑，有没有可能存在更多的柏拉图立体。你可以仔细观察一下下面的照片。

▲ 图自 uk.arken.dk

这个可以攀爬的支架看似由正六边形组成，它由来自冰岛的奥拉维尔•埃利亚松（Olafur Eliasson）设计，就在博物馆旁边。这些六边形构成了球体表面的一部分，另一大部分球体则位于地面以下——至少看起来是的。我甚至不用数这个架子是由几个六边形组成的，就能很快清楚它不可能是柏拉图立体。

位于哥本哈根附近的方舟现代艺术博物馆的雕塑品，类似一种柏拉图立体这些六边形不可能是正六边形，因为如果是正六边形，就不会形成弯曲的球体表面。正六边形的六条边长度相同，不过，这里的六边形与正六边形之间有极其细小的差别，使我们根本察觉不到。此外，这个架子还包含五边形，不过在这张照片上几乎无法辨认。

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上文节选自未读·探索家《你学的数学可能是假的》， [遇见]已获授权。