一、二次函数的定义和表达形式
1、定义：
一般地，我们把函数表达式可以化简成y=ax^2 bx c(a≠0且a、b、c为常数）这样的形式的函数叫做二次函数。
例如：y=x^2 2x-1、y=(x-2)^2-1、y=(x-2)(x-1)等等。
2、表达形式：
①一般式：y=ax^2 bx c(a≠0且a、b、c为常数）
②顶点式：y=a（x-m）^2 n(a≠0且a、m、n为常数）
③交点式：y=a(x-e)(x-f)(a≠0且a、e、f为常数）
【说明：只要二次函数图象与x轴有交点，即，一元二次方程ax^2 bx c=0(a≠0且a、b、c为常数）有根，都能化成这样的形式】
二、二次函数的图象
1、观察二次函数的图象：（像这样的函数曲线叫做抛物线，它的对称轴与它的交点叫做顶点。我们一般采用描点作图法，具体步骤如下：就是找到几个相对于简单的点，横坐标对纵坐标，并在平面直角坐标系内画出点，最后用光滑的曲线连接。）
我们可以发现：
①二次函数y=ax^2 bx c(a≠0且a、b、c为常数）的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标（-b/2a，4ac-b^2/4a），当x=-b/2a时，y最小/最大=4ac-b^2/4a。
②它的自变量x的取值范围是x为全体实数，函数值y的取值范围是y≥4ac-b^2/4a或者y≤4ac-b^2/4a（视具体情况而定）。
③当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
④它与x轴的交点有三种情况：
（1）△=b^2-4ac=0，它与x轴仅有一个交点，坐标为（4ac-b^2/4a，0）。
（2）△=b^2-4ac＞0，它与x轴有两个交点，两根和为-b/a,两根积为c/a，两交点的距离为√△/|a|，证明如下：设两交点为（x1,0）、（x2,0）。
(x1 x2）^2=b^2/a^2,x1∙x2=c/a，|x1-x2|=√（x1-x2）^2=√b^2/a^2-4c/a=√△/|a|。
（3）△=b^2-4ac＜0，它与x轴没有交点，函数值y恒大于0或者恒小于0。
⑤当|a|越大，抛物线的开口越小；当|a|越小，抛物线的开口越大。
三、二次函数的性质和平移
1、函数的性质：
①二次函数y=ax^2 bx c(a＞0且a、b、c为常数），当x≤-b/2a时，y随着x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随着x的增大而增大。
②二次函数y=ax^2 bx c(a＜0且a、b、c为常数），当x≤-b/2a时，y随着x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随着x的增大而减小。
2、函数的平移：
左右平移：（左加右减） 上下平移：（上加下减）
设二次函数y=a（x-m）^2 n(a、m、n≠0且a、m、n为常数），
它可以是由二次函数y=ax^2（a≠0且a为常数）向左平移（m＜0）或者向右（m＞0）|m|个单位，在向上平移n(n＞0）或者向下（n＜0）|n|个单位。
四、利用二次函数解决问题
注意：审清题意，明确目的，知晓本质。运用二次函数图象求实际问题时，先考虑自变量x的取值范围、函数值y的范围与实际所表示的意义，再来具体情况具体分析。
美妙的函数