上海华东师范大学第一中学实验中学
任性的菠萝
摘要：变异理论是由世界著名教育学专家、瑞典哥德堡大学教授xsdxc提出的。在变分理论的指导下，初中数学变分教学应突出问题的本质和解决问题的基本规律。在教学实践中，题目可以进行递进变化、讨论变化、背景变化、问题变化或图形变化。
关键词：递进变异；讨论变异；背景变化；问题变异；图形变化
变异理论是由世界著名教育学专家、瑞典哥德堡大学教授xsdxc提出的。这一理论超越了传统迁移理论强调不同情境之间的共同要素，注重区分所学内容的关键属性，从而将普遍原理与具体事例分离开来。变分法的基本观点：第一，如果只在一个例子中，一般和具体是完全交织在一起的，前者是隐含的，后者是明确的，很难区分和区分。如果有两个例子反映了相同的原理，并且它们之间有足够的差异，那么它们之间的相似之处(原理)可以从它们之间的差异(例子)中区分出来。学习者接触的例子越多，就越有可能排除其他显著特征，然后将原则确定为基本属性或独特共性。第二，没有共性，当然不会有迁移，但没有差异，就不会有迁移，这同样重要。我们之所以能知道事物的特征，是因为有些事物是相同的，有些事物是不同的。因此，从本质上说，移民是差异和共性相互作用的结果。
作为一名数学老师，每个人都有这样的经历。老师讲了一个题目，学生还是不能独立解决原题或题型。原因是学生没有掌握解决这类问题的一般规律。因此，在数学教学中，对于典型例题，学生需要掌握解题规律。根据变易理论，学生只从一个题目中掌握解题规律是不现实的，学生也无法从中发现和掌握规律。因此，在教学中要适当修改例题，让学生从中发现异同，掌握解题的一般规律，有利于迁移。然后，如何修改典型例题，根据变分理论，笔者对例题修改教学进行了实践和思考。
一.渐进变化
递进变异是指题目从特殊到一般的变异，而解决问题所需的基础知识保持不变。一是题目的条件从特殊到一般，从简单到复杂，可以形成递进式的变式题组。递进变式习题集是指在课堂教学中为了达到一定的教学目的，根据学生的认知规律合理有效地设计的一组数学问题，而这组数学问题具有一定的内在逻辑联系，即前者问题是后者问题的特例，而后者问题是前者问题的一般情况，因此将特殊到一般的问题结合起来称为递进变式习题集。这种递进式变式题组是逐层递进，由简入深，由简入繁，循序渐进，螺旋式上升，有利于学生深刻理解问题的本质，进而掌握解题规律，突破教学难点。二是在解题一般规律不变的情况下，通过改变非本质属性，有助于学生分离一般规律。第三，有利于不同层次的学生。因为问题是由简单到复杂的，不同层次的学生可以一步一步爬上台阶，从中掌握一般规律。例如，在分数教学中，设计以下作业。
案例1:
在上面三个问题中，分数的分子来自x-3，变量是
，分子为0的条件正在增加。分母从2x-1变为x-3，这样当分子为0时，分母为0。三题有区别，但解题的本质是分数值为0，分子为0但分母不为0的条件。通过这种分层三题，学生不仅能发现解题的本质，还能让不同的学生找到自己解题的出发点，从而帮助不同层次的学生总结解题规律，形成对这类问题完整的数学认知结构。
第二，讨论变异
讨论变异是指话题向分类讨论方向的变异。首先，数学概念是思维的细胞，是思维的基本单位。概念是数学教学的核心，是判断和推理的要素，清晰的概念是逻辑思维的基本要求。因此，概念的理解直接影响学生的数学思维能力。第二，数学概念本身是陈述性知识，但如果用概念解题，则属于程序性知识。只有在问题解决教学中，学生才能理解概念的本质。三是通过分类讨论，让学生理解概念的本质。例如，要理解一元线性方程的概念，设计以下作业。
案例2:
三、背景变异
背景变异是指问题的背景变异，而解决问题的方法保持不变。对于同类问题，当背景发生变化时，解决问题的方法也不会改变。首先，它将帮助学生找出解决问题的一般规则。第二，有助于提高学生的概括能力。学生需要一些思维操作，从不同的背景题目中总结归纳出一般规律。第三，有利于学生扩大类比迁移的范围。例如，在寻找规则的问题中，使用背景变化来设计以下作业。
案例3:
(1)如图1所示，观察图，填写表1。
a0f95c541e?from=pc">问题变异是指问题不同，但解决问题所依据的数学方法是相同的。数学来源于生活，生活中很多问题均可转化为方程问题。著名数学家笛卡儿曾设想一个解决所有问题的通用方法，首先将任何问题转化为数学问题，然后将数学问题转化为代数问题，最后将任何代数问题化归为方程问题。要使学生掌握一类问题的解决方法，通过所要解决具体问题的不同，以使学生从中概括出解决问题的基本数学方法. 既有利于提高学生的概括能力，又可使学生形成解决某类问题的问题域. 同时，由于问题的不断变异，又可使学生明确与其他类问题的关系，这样可使学生形成的数学认知结构科学合理，也就是形成CPFS结构. 我国学者研究表明，CPFS结构是一个科学合理的数学认知结构，可提高学生的数学认知能力。例如，在二元一次方程组应用的教学中，设计如下变异作业。
案例4：
(1)一家眼镜厂，有28个工人加工镜架和镜片，每人每天可加工镜架69个或镜片102片，为了使每天加工的镜架和镜片成套，则将如何分配工作？
设加工镜架的工人为x人，加工镜架的工人为y人，
则等量关系是：
①_________+__________=28；
②__________：_________=__________：__________.
根据题意列二元一次方程组为______________________________________.
（2）学生课桌装配车间共有木工9人，每个木工一天能装配双人课桌4张或单人椅10把，怎样分配工作能使一天装配的课桌椅配套？
设x个木工装配双人课桌，y个工人装配单人椅，
则根据题意列二元一次方程组为_______________________________
五、图形变异
图形变异是指图形是不同的，但从图形中分离出来的基本图形是相同的。一是数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学. 因为空间形式的复杂性，人类不可能把所有图形的性质都认识清楚。但人们发现，很多复杂的图形是由基本图形组合而成，把复杂图形的问题转化为基本图形的问题来解决是人类智慧的结晶。因此，基本图形的性质，以及如何从复杂图形中分离出基本图形是要求学生必须进行重点表征的。初中几何知识中，有很多基本图形，如相似形中的A字型、8字型、一线三等角、子母三角形等，这些基本图形的识别与性质的灵活运用是学生解决复杂问题的思维载体。通过图形的变异，但组成图形的基本图形不变，有利于提高学生从复杂图形中分离出基本图形的能力。有利于提高学生运用基本图形解决问题的能力。例如在“相似三角形的判定“的教学中有一类特殊的一线三等角的问题，设计如下变异作业。
六、几点思考
第一，基于变异理论进行变式教学，题目的变异要围绕不变的本质而展开。变异的目的是要学生通过几个实例发现并总结、归纳出解决问题的一般性原理（规律）. 因此，在进行变异时，首先要明确问题的本质，然后围绕问题的本质不变，变化非本质属性，以突出问题的本质属性，使此类问题的一般性原理凸出出来。
第二，重复有利于提高学生数学知识的记忆强度。变异是在本质不变的情况下展开的，也就是说学生解答此类问题运用的思想方法是相同的. 因此，学生要重复使用相同的原理解答题目，是一种重复的思维活动。认知心理学的研究表明，重复可以增强学生对知识的记忆，能够使长时记忆中的记忆强度增加，即记忆的痕迹大，这样在学生解答其他问题时，便于从长时记忆中提取需要迁移的信息，从而提高分析问题和解决问题的能力。
第三，变异有利于不同层次学生发现并总结掌握问题的一般原理。学生之间的差异是客观存在的，不同的学生其解决问题的能力，以及归纳、概括的能力是不同的. 因此，在进行题目变异时，要使题目有一定的梯度，也就是要递进式变异，由简单到复杂，从而使不同层次的学生都能够从中分析并发现一般性的原理。
参考文献：
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[2]任性的菠萝.利用平面几何教学提高学生思维层次的探索[J].教学月刊（中学版），2014（12）11-14.
[3]任性的菠萝.数学教学中培养学生观察能力的几点认识[J].中国数学教育（初中版），2013（4）：13-15.