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卷积的混乱卷积这个概念，我从以前就开始学了，但是很难理解。 教科书通常有定义，有很多性质，用实例和图形进行说明，但往往不知道为什么是这样设计、那样计算的，其背后的意义是什么。 作为一个学习物理的人，如果不能给出一个公式与实际直观相联系的通俗易懂的说明，也就是背后的“物理”的意义，就会觉得有什么东西不够，而不是真的明白。
教科书中一般定义的函数卷积如下。
连续形式：
离散形式：
另外，还说明了先反转g函数相当于在轴上使g函数从右边向左边打褶，即卷积“缠绕”的由来。
然后，将g函数平移到n，在该位置上将两个函数的对应点相乘并相加。 这个过程是卷积的“积”的过程。
这只是从计算的方法上说明了公式，在数学上无可挑剔，但进一步深究，为什么要反转后平移，这样设计有什么意图？ 果然有点费解。
众所周知，已有不少热心网友举例说明了榻榻米卷地毯、扔骰子、耳语、存钱等诸多印象。 读起来觉得非常生动有趣，仔细想想，还有没有解释的地方，可能有缺陷。 或者也许可以改善(这些稍后会进行分析)。
带着问题想了两个晚上，觉得终于有几个问题可以接受了，所以写出来和网友分享，一起学习提高。 错误的地方欢迎评论。
这篇文章主要想说明两个问题。
1 .卷积这个名词怎么解释？ “卷”是什么意思？ “积”是什么意思？
2 .卷积背后的含义是什么？ 我该怎么解释？
的应用场景，为了更好地理解这些问题，首先给出两个典型的应用场景。
1 .信号分析
输入信号f(t )在经过了可以用单位冲击响应函数g(t )来记述线性系统之后，输出的信号应该是什么？ 实际上可以通过卷积运算得到输出信号。
2 .图像处理
输入一张图像f(x，y )，对特定设计的卷积核g ) x，y )进行卷积处理，可以获得输出图像模糊、边缘强化等各种效果。
卷积的理解卷积这个名词的理解：两个函数的卷积本质上是指将一个函数反演后滑动重合。
连续时，重合是指两个函数的乘积的积分，离散时为加权相加，为简明起见统称重合。
总体来说，似乎是这样的过程：
翻转——幻灯片3354叠加——幻灯片——叠加——叠加——幻灯片——叠加—— .
多次滑动得到的一系列重合值构成了卷积函数。
卷积的“音量”、的函数的反转、从g(t )变成g )-t )的过程，另外，“卷”中也有为了滑动而玩的哈密瓜。 采纳了网友的lcddfs建议。 如果把卷积翻译成“褶”，这个“褶”字只有反转的意思。
卷积的“积”是指积分/加权加法。
虽然有些文章只强调了幻灯片的重合合计，没有说函数的反转，但我认为是不完整的； 有些文章对“卷”的理解其实是“积”，应该是张冠李戴。
理解卷积的含义：
1 .从“乘积”过程中可以看出，我们得到的叠加值是一个全局概念。 以信号分析为例，卷积的结果不仅与当前时刻的输入信号的响应值有关，还与过去所有时刻的输入信号的响应有关，并考虑了对过去所有输入的效果的累积。 在图像处理中，卷积处理的结果实际上是考虑到各像素周围、以及整个图像的像素，对当前像素进行了某些加权处理。 因此，“乘积”是一个全局概念，或者是将两个函数在时间或空间上混合的“混合”。
2 .那么为什么要进行“卷”？ 直接乘法不好吗？ 我的理解是，进行“卷”(反转)的目的，实际上是在“积”时施加指定参照什么的制约。 对于信号分析场景，指定在哪个特定时间点前后进行“积”；对于空间分析场景，指定在哪个位置附近进行累积处理。
以下列举几个例子，说明为什么要反转，以及重复加法的意义。
例1 )信号分析如下图所示，输入信号为f(t )，随着时间变化。 系统响应函数为g(t )，图中的响应函数随着时间呈指数下降，其物理意义为，当t=0时有输入时，该输入随着时间的经过逐渐衰减。 换句话说，时刻t=T时，时刻t=0的输入f(0)的值衰减为f )0) g ) t )。
考虑到信号是连续输入的，也就是说，每个时刻都会有新的信号进来。 因此，最终输出的是之前输入的所有信号的累积效果。 如下图所示，在时刻T=10时，输出结果与图中的整个带标记区域有关。 这里，f(10 )是刚输入的，所以其输出结果应该是f ) 10 ) g )0)。 另一方面，时刻t=9的输入f )9)只经过了1小时单位的衰减，所以应该是f )9) g )1)。 这样，成为图中虚线所示的关系。 将这些对应点相乘并累积的是时刻T=10的输出信号值，结果也是时刻T=10的f和g的两个函数的卷积值。
很明显，上面的对应关系看起来很难看，被拧进去了，所以我
们把g函数对折一下，变成了g(-t)，这样就好看一些了。看到了吗？这就是为什么卷积要“卷”，要翻转的原因，这是从它的物理意义中给出的。
上图虽然没有拧着，已经顺过来了，但看上去还有点错位，所以再进一步平移T个单位，就是下图。它就是本文开始给出的卷积定义的一种图形的表述：
所以，在以上计算T时刻的卷积时，要维持的约束就是： t+ (T-t) = T 。这种约束的意义，大家可以自己体会。
例2：丢骰子在本问题 如何通俗易懂地解释卷积？中排名第一的 xhdxh在中举了一个很好的例子（下面的一些图摘自xhdxh的文章，在此表示感谢），用丢骰子说明了卷积的应用。
要解决的问题是：有两枚骰子，把它们都抛出去，两枚骰子点数加起来为4的概率是多少?
分析一下，两枚骰子点数加起来为4的情况有三种情况：1+3=4， 2+2=4, 3+1=4
因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：
写成卷积的方式就是：
在这里我想进一步用上面的翻转滑动叠加的逻辑进行解释。
首先，因为两个骰子的点数和是4，为了满足这个约束条件，我们还是把函数 g 翻转一下，然后阴影区域上下对应的数相乘，然后累加，相当于求自变量为4的卷积值，如下图所示：
进一步，如此翻转以后，可以方便地进行推广去求两个骰子点数和为 n 时的概率，为f 和 g的卷积 f*g(n)，如下图所示：
由上图可以看到，函数 g 的滑动，带来的是点数和的增大。这个例子中对f和g的约束条件就是点数和，它也是卷积函数的自变量。有兴趣还可以算算，如果骰子的每个点数出现的概率是均等的，那么两个骰子的点数和n=7的时候，概率最大。
例3：图像处理还是引用知乎问题 如何通俗易懂地解释卷积？中 xhdxh的例子。图像可以表示为矩阵形式（下图摘自xhdxh的文章）：
对图像的处理函数（如平滑，或者边缘提取），也可以用一个g矩阵来表示，如：
注意，我们在处理平面空间的问题，已经是二维函数了，相当于：
那么函数f和g的在（u，v）处的卷积 该如何计算呢？
首先我们在原始图像矩阵中取出（u,v）处的矩阵：
然后将图像处理矩阵翻转（这个翻转有点意思，不是延x轴和y轴两个方向翻转，而是沿右上到左下的对角线翻转，这是为了凑后面的内积公式。），如下：
可对比下图：
计算卷积时，就可以用 和 的内积：
请注意，以上公式有一个特点，做乘法的两个对应变量a,b的下标之和都是（u,v），其目的是对这种加权求和进行一种约束。这也是为什么要将矩阵g进行翻转的原因。以上矩阵下标之所以那么写，并且进行了翻转，是为了让大家更清楚地看到跟卷积的关系。这样做的好处是便于推广，也便于理解其物理意义。实际在计算的时候，都是用翻转以后的矩阵，直接求矩阵内积就可以了。
以上计算的是（u,v）处的卷积，延x轴或者y轴滑动，就可以求出图像中各个位置的卷积，其输出结果是处理以后的图像（即经过平滑、边缘提取等各种处理的图像）。
再深入思考一下，在算图像卷积的时候，我们是直接在原始图像矩阵中取了（u,v）处的矩阵，为什么要取这个位置的矩阵，本质上其实是为了满足以上的约束。因为我们要算（u，v）处的卷积，而g矩阵是3x3的矩阵，要满足下标跟这个3x3矩阵的和是（u,v），只能是取原始图像中以（u，v）为中心的这个3x3矩阵，即图中的阴影区域的矩阵。
推而广之，如果如果g矩阵不是3x3，而是6x6，那我们就要在原始图像中取以（u，v）为中心的6x6矩阵进行计算。由此可见，这种卷积就是把原始图像中的相邻像素都考虑进来，进行混合。相邻的区域范围取决于g矩阵的维度，维度越大，涉及的周边像素越多。而矩阵的设计，则决定了这种混合输出的图像跟原始图像比，究竟是模糊了，还是更锐利了。
比如说，如下图像处理矩阵将使得图像变得更为平滑，显得更模糊，因为它联合周边像素进行了平均处理：
而如下图像处理矩阵将使得像素值变化明显的地方更为明显，强化边缘，而变化平缓的地方没有影响，达到提取边缘的目的：
对一些解释的不同意见上面一些对卷积的形象解释，如知乎问题卷积为什么叫「卷」积？中 荆哲 ，以及问题 如何通俗易懂地解释卷积？中 xhdxh 等人提出的如下比喻：
其实图中“卷”的方向，是沿该方向进行积分求和的方向，并无翻转之意。因此，这种解释，并没有完整描述卷积的含义，对“卷”的理解值得商榷。
一些参考资料《数字信号处理（第二版）》整齐的大象，北京大学出版社
《信号与系统引论》 朴素的白昼，应启珩，妩媚的红牛，高等教育出版社