目录
一.什么是时间复杂性
二.时间复杂性的计算
单循环体的推导规律
多重循环体的推导规律
多时间复杂度的推导规律
条件句的导出法则
习题
一.基础问题
二.高级问题
三.再上一个台阶
一.时间复杂度算法复杂度
算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。 其作用：时间复杂度是指算法运行所需的计算工作量； 另一方面，空间复杂度是指运行此算法所需的内存空间。
时间复杂度
一个算法所需的时间与算法中语句的执行次数成比例，任何算法中语句的执行次数多都会导致时间延长。 将一个算法中的语句执行次数称为句子频率或时间频率，记为T(n)。
一般来说，算法中基本操作的重复次数是问题规模n的某个函数，用t(n )表示，如果有某个http://www.Sina.com，则当n接近无限大时，使用t(n )
辅助函数f(n)
同数量级函数运行两个算法所需的时间在理论上无法计算，必须在机上执行测试才能知道。 但是，没有必要测试所有的算法。 你只需要知道哪个算法需要时间，哪个算法不需要时间。
二.时间复杂度计算计算假定计算机执行一行基础代码需要执行一次运算，以下方法需要执行两次运算
intafunc(void ) printf )，World！ n '； return 0需要运行一次//运行一次)查看另一个示例：
intafunc(intn ) for ) intI=0； in； I ) )//printf('he )必须运行(n 1 )次
llo, World!n"); // 需要执行 n 次 } return 0; // 需要执行 1 次}这个方法需要 (n + 1 + n + 1) = 2n + 2 次运算。
我们把算法需要执行的运算次数用输入大小n 的函数表示，即 T(n) 。
那么当我们拿到算法的执行次数函数 T(n) 之后怎么得到算法的时间复杂度呢？
1、我们知道常数项对函数的增长速度影响并不大，所以当 T(n) = c，c 为一个常数的时候，我们说这个算法的时间复杂度为 O(1)；如果 T(n) 不等于一个常数项时，直接将常数项省略。
比如：第一个 Hello World 的例子中 T(n) = 2，所以我们说那个函数(算法)的时间复杂度为 O(1)。T(n) = n + 29，此时时间复杂度为 O(n)。2、我们知道zzdmp对于函数的增长速度的影响是最大的。n^3 的增长速度是远超 n^2 的，同时 n^2 的增长速度是远超 n 的。 同时因为要求的精度不高，所以我们直接忽略低此项。
比如:T(n) = n^3 + n^2 + 29，此时时间复杂度为 O(n^3)。3、因为函数的阶数对函数的增长速度的影响是最显著的，所以我们忽略与最高阶相乘的常数。
比如：T(n) = 3n^3，此时时间复杂度为 O(n^3)。综合起来：如果一个算法的执行次数是 T(n)，那么只保留最zzdmp，同时忽略最高项的系数后得到函数 f(n)，此时算法的时间复杂度就是 O(f(n))。为了方便描述，下文称此为大O推导法。
由此可见，由执行次数 T(n) 得到时间复杂度并不困难，很多时候困难的是从算法通过分析和数学运算得到 T(n)。对此，提供下列四个便利的法则，这些法则都是可以简单推导出来的，总结出来以便提高效率。
单个循环体的推导法则对于一个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，循环次数为 m，则这个循环的时间复杂度为 O(n×m)。
void aFunc(int n) { for(int i = 0; i < n; i++) { // 循环次数为 n printf("Hello, World!n"); // 循环体时间复杂度为 O(1) }}此时时间复杂度为 O(n × 1)，即 O(n)。
多重循环体的推导法则对于多个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，各个循环的循环次数分别是a, b, c...，则这个循环的时间复杂度为O(n×a×b×c...)。分析的时候应该由里向外分析这些循环。
void aFunc(int n) { for(int i = 0; i < n; i++) { // 循环次数为 n for(int j = 0; j < n; j++) { // 循环次数为 n printf("Hello, World!n"); // 循环体时间复杂度为 O(1) } }}此时时间复杂度为 O(n × n × 1)，即 O(n^2)。
多个时间复杂度的推导法则对于顺序执行的语句或者算法，总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。
void aFunc(int n) { // 第一部分时间复杂度为 O(n^2) for(int i = 0; i < n; i++) { for(int j = 0; j < n; j++) { printf("Hello, World!n"); } } // 第二部分时间复杂度为 O(n) for(int j = 0; j < n; j++) { printf("Hello, World!n"); }}此时时间复杂度为 max(O(n^2)，O(n))，即 O(n^2)。
条件语句的推导法则对于条件判断语句，总的时间复杂度等于其中 时间复杂度最大的路径 的时间复杂度。
void aFunc(int n) { if (n >= 0) { // 第一条路径时间复杂度为 O(n^2) for(int i = 0; i < n; i++) { for(int j = 0; j < n; j++) { printf("输入数据大于等于零n"); } } } else { // 第二条路径时间复杂度为 O(n) for(int j = 0; j < n; j++) { printf("输入数据小于零n"); } }}此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。
时间复杂度分析的基本策略是：从内向外分析，从最深层开始分析。如果遇到函数调用，要深入函数进行分析。
习题练习 一、基础题求该方法的时间复杂度
void aFunc(int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = i; j < n; j++) { printf("Hello Worldn"); } }}参考答案：
当 i = 0 时，内循环执行 n 次运算，当 i = 1 时，内循环执行 n - 1 次运算……当 i = n - 1 时，内循环执行 1 次运算。
所以，执行次数 T(n) = n + (n - 1) + (n - 2)……+ 1 = n(n + 1) / 2 = n^2 / 2 + n / 2。
根据上文说的 大O推导法 可以知道，此时时间复杂度为 O(n^2)。
求该方法的时间复杂度
void aFunc(int n) { for (int i = 2; i < n; i++) { i *= 2; printf("%in", i); }}参考答案：
假设循环次数为 t，则循环条件满足 2^t < n。
可以得出，执行次数t = log(2)(n)，即 T(n) = log(2)(n)，可见时间复杂度为 O(log(2)(n))，即 O(log n)。
求该方法的时间复杂度
long aFunc(int n) { if (n <= 1) { return 1; } else { return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2); }}参考答案：
显然运行次数，T(0) = T(1) = 1，同时 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1，这里的 1 是其中的加法算一次执行。
显然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一个斐波那契数列，通过归纳证明法可以证明，当 n >= 1 时 T(n) < (5/3)^n，同时当 n > 4 时 T(n) >= (3/2)^n。
所以该方法的时间复杂度可以表示为 O((5/3)^n)，简化后为 O(2^n)。
文章参考：https://www.jianshu.com/p/f4cca5ce055a