结构力学第十一章矩阵位移法
10-1概要结构矩阵解析方法是电子计算机进入结构力学领域而产生的方法。 结构力学的传统方法和结构矩阵的分析方法，两者是同源而不同的。 原理上相同，做法有差异。 简单来说，前者形成于“手算”时代，后者着眼于“电算”，计算手段的不同，引起计算方法的不同。 与传统力法、位移法相对应，结构矩阵分析也有矩阵力法和矩阵位移法，或者柔度法和刚度法。 矩阵位移法因具有计算过程易于程序化的优点而广为人知，但本章只讨论矩阵位移法。 矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也被称为杆系结构的有限元法。 本章使用有限元法的一些术语和提法。 先把整体分解，分解成几个单元。 在杆结构中，一般将各杆作为一个单元。 这个过程称为离散化。 然后，在一定的条件下将这些单元归纳为整体。 在一分一合、先拆后装的过程中，将复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析和集合问题。 有限元法有两个基本环节； 单元分析任务： 总体分析主要任务： 本节和下一节对平面结构杆单元进行单元分析，求出单元刚度方程和单元刚度矩阵。 位移法给出的转角位移方程实际上是梁单元的刚度方程。 梁单元是杆单元的特例。 1 .一般单元杆除了弯曲变形外，还存在轴向变形。 左右各有3个位移分量(2个移动、1个旋转)，活塞杆共有6个杆端位移分量。 这是平面结构杆单元的一般情况。 从端点1到端点2的方向定义为轴的正方向，如图中箭头所示。 图中采用坐标系； 在局部坐标系中，常见单元的两端分别有三个位移分量。 图11-2所示的位移、力成分的方向为正方向。 单元的六个螺柱位移分量和六个螺柱力分量按照固定顺序排列，形成单元的螺柱位移矢量； 向量中6个要素的序号标记为1、2、…、6。 它们在每个单元中进行了各子编码，因此称为(不是在刚架的所有单元中统一编码的)本地代码——螺柱位移分量)或螺柱力分量的本地代码。 数字(1)、2 )…均加括号，作为本地代码的标记。 单元刚性方程是指根据单元螺柱位移求出单元螺柱的力时建立的方程——； 为了建立单元刚度方程，按照位移法基本体系的做法，在杆件两端施加人工控制的附加约束，使基本体系在两端任意产生指定的位移； 图11-3； 首先，螺柱轴向位移； 接着，螺柱横向位移； 根据角位移方程式(8-5)和)8-6，置换本章的符号和符号即可得到。 以上的6个刚性方程式(11-2 )和) 11-3 )实际上是用位移法导出的。 现在，把它们合起来，写成矩阵形式如下； 上式可以如下表述； 求出式(11-5 )2.单元刚性矩阵的性质一般而言，第(I )行) j )列的要素为(j )号螺柱位移分量为1 )；其他位移分量为0 )时发生的) I )号螺柱力分量； 的列中的六个元素分别表示一个螺柱的位移分量等于1时发生的六个螺柱的力分量。 例如，第一列对应于单位位移产生的螺柱力。 为了有助于理解，在式(11-6 )中，在各列上标明了对应的单位位移成分。 2 )是对称矩阵3 )一般单元的是奇异矩阵，由此可知不存在逆矩阵。 即，能够根据单位刚性方程式11-5根据螺柱位移来估计螺柱的力，且解是唯一的解； 但是，由于螺柱的力不能反推螺柱的位移，有可能没有解，有解并不是唯一的解。 为了避免混淆，从数学提取法、力法模型、解的性质等方面比较了正反两个问题。
请参考下表； 总之，正反问题的力学模型完全不同，单元不能一概称为“自由单元”。 逆矩阵的性质是基于反问题决定的，这里的反问题是以“自由单位”进行分析的，所以得出不存在的结论。 3 .特殊单元，如计算连续梁时，通常忽略轴向变形。 已知以各大跨度梁为单元(图11-4 )，杆端位移分量只能指定为两个任意值，其馀四个分量均为零。 (a )； 此时单元刚性矩阵为； 结构矩阵分析着眼于计算过程的程序化、标准化和自动化。 因此，采用一种标准化形式——普通单元的刚性矩阵(11-6 )，单元刚性矩阵的各种特殊形式由计算机程序自动形成。 特定单元的刚度矩阵是可逆的。 例如，存在式(11-10 )中其逆矩阵. 图11—5； 反问题的力学模型如图11-5b所示，各端有两根树枝，轴端力矩为任意值。 选择局部坐标系的目的是要导出的单元刚性矩阵具有最简单的形状。 单元坐标变换矩阵； 图11—6； 很明显，两者有以下关系； 将式(10-11 )写成矩阵形式：将式中的t称为单元坐标变换矩阵； T-1=T T； (11—18 )； 局部坐标系中背后的眼睛刚性方程为； 比较式(b )和(11—20 )可知： 例11—1； 解： 坐标系整体单元刚性矩阵； 11-4连