4.2矩阵表示和齐次坐标
许多图形APP应用程序都涉及几何变换的顺序。 例如，在动画中，必须以运动的每个增量平移和旋转对象。 在设计和图形结构应用中，必须完成平移、旋转和缩放，以确保图形的元素位于正确的位置。 观察包括一系列平移和旋转，原始场景的说明显示在输出设备上。 通过重组行列式，有效处理该变换顺序。 在4.1节中，每个基本变换(平移、旋转、缩放)可以表示为常规矩阵形式1。 坐标位置p和p表示列向量，其中矩阵m-1是包含乘法因子的2x2矩阵，以及m-2是包含平移项的2元素列矩阵。对于平移，M1是单位矩阵。对于旋转或者或缩放，M2包含与基准点或缩放固定点相关的转换项目。 为了用这个公式建立前定标、旋转、后平移的变换顺序，必须逐步计算变换的坐标。 首先缩放坐标位置，然后旋转缩放的坐标，平移最后旋转的坐标。 更有效的方法是结合变换，直接从初始坐标移动到最后一个坐标位置，从而消除中间坐标值的计算。 因此，为了消除关于M2的并行项的矩阵加法，有必要重构矩阵形式1。
4.2.1 齐次坐标
将2x2行列式扩展到3x3矩阵，就可以组合二维几何变换的乘法和位移项来表示单矩阵。 此时，如果将变换矩阵的第3列用于并行项，则所有的变换式都可以表示为矩阵乘法。 但是，为了这样操作，必须说明从二维坐标位置到三维向量的矩阵表现。 的实现技术是将二维坐标位置显示(x，y )扩展到三维显示(xh，yh，h )，称为齐次坐标) homogeneous coordinate。 此处的齐次参数) homogeneous parameter ) h为非零值，因此：
这样，通常二维同次坐标显示能够写为(h*x、h*y、h ) . 在二维几何变换的情况下，齐次参数h可以取任意的非零值。 因此，每个坐标点(x，y )可以具有无数个等价的同次式。 最方便的选择是简单地设定h=1。 因此，各二维位置能够由齐次坐标(x、y、1 )表示。 的其他值也是必需的。 例如，在三维观察变换的行列式中。
齐次坐标这个术语在数学中用于指出笛卡尔方程式的表现效果。 笛卡尔点(x，y )变换为齐次坐标(xh，yh，h )后，包含x和y方程式的发) x，y )=0成为三个参数xh，yh，h的齐次方程式。 假设将3个参数分别乘以值v后置换，则v可以从方程式中作为因子提取。
通过用齐次坐标表示位置，可以用矩阵乘法的形式表示所有几何变换式。 这是图形系统中使用的标准方法。 二维坐标位置用3要素列向量表示，二维变换操作用3x3矩阵表示。