1.行列式的几何意义方阵
矩阵公式的绝对值是其行向量或列向量为cdgs的平行几何的空间积，对于二次矩阵公式是向量cdgs的平行四边形的面积，对于三次矩阵公式是与长方体的体积对应的例如方阵
行列式的绝对值为27，是下图的平行四边形的面积
2.克拉默法则的几何意义用二维形式说明其几何含义：
设方程式Ax=b、A=
、b=
、求出的x=
如果a的两个列向量分别表示为a1，a2，则原始方程可以表示为x1a1 x2a2=b。 这样，可以将x1和x2视为列向量a1、a2的伸缩因子，伸缩重叠后得到和向量b。 因此，元方程可以看作是已知列向量伸缩叠加的向量b，求解伸缩因子x，矩阵公式的几何意义就已经知道了。 很明显，与矩阵a对应的平行四边形的面积为|A|。 (这里用带符号的方向性面积表示，因为伸缩因子也带符号。 )某个向量伸缩后，如图所示将OB边拉伸到OE，形成新的平行四边形OAFE，将其面积
这样，a1伸缩系数x1
显然求OAFE的面积就可以解未知的量；
图中的OG即矢量b是x1a1、x2a2的直线重合，因此g点一定位于EF的延长线上。 这样，由于OG和OE相对于OA边的高度相同，所以由OA和OG构成的平行四边形的面积与OAFE相同。 即，由于求出面积为|b a2|，所以能够求出x1=|ba2|. 同样得到x2a2
我们知道3.矩阵乘法的几何意义矩阵由几个向量组成。 因此，矩阵乘法很自然地被认为是在两个矩阵的同维向量之间进行内积(或点乘法)。 内积的意义是两个向量同向投影的乘积，但这只是表面几何意义，是抽象的。 (实际上，在作用后获得的新矩阵c可以被认为是矩阵a通过某种变换获得的，或者矩阵b通过某种变换获得的，但该变换显然是另一个矩阵的乘法过程，如上所述矩阵乘法C=AB例如可被视为通过对图形a (或b )进行图形b )或a )转换而获得的新图形c，或向量空间a )
将原始三维图元投影到x-y面上，并变换矩阵
将原始图形镜像到x轴，变换矩阵将原始图形镜像到x轴，并变换矩阵
将原始二维图形相对于原点逆时针旋转30度。
很快就能明白4.初等变换的几何意义由前面叙述的部分几何意义初等变换的几何含义
调换行列的两行(列)。 改变向量在矩阵中的排列顺序。 矩阵表示图形时，该操作不影响图形，因此矩阵cdgs的空间维数)等级)不变，但矩阵表示向量空间时，改变此坐标系的手性。 在计算方阵的行列式时，改变其符号。
用非零的数k乘以有矩阵的行(列)。 即，如果对矩阵中的某个向量进行伸缩变换，则矩阵整体表示的图形的对应发生变化。 k不能为0，所以矩阵cdgs空间的维数)不变，方阵cdgs的平行几何的空间积)行列式)为原来的k倍
将矩阵的一行(列)的k倍添加到另一行(列) :将矩阵的一个向量线性重叠，且新向量的终点始终位于另一个向量的平行线上，因此对任意矩阵图形产生剪切变形。 由于剪切变形不会导致向量重叠或收缩，因此cdgs空间的维数也不会改变。 关于方阵，从前面的几何学导出克拉默定律的过程可知，如果一个向量加上矩阵中的另一个向量的k倍，则与方阵对应的平行几何的空间积不会变化，因为相对于由剩馀向量构成的平行体的新向量和原始向量的高度不会变化
例如在matlab中使用矩阵
如果作用与下图对应的矩阵(第三行乘以0.2，即使z方向的坐标缩短5倍)，则得到的新图元将与右图相同
Matlab程序可以通过手动尝试或修改变换矩阵来获得不同的效果，如下
x=0:0.1:5；
y=x
； [ xy ]=消息网格(x，y )； %构建网格z=sin(x ).cos (y ).x.y；
SURF(x，y，z )； 绘制%元图形
x=reshape(x，2601，1 )；
y=reshape(y，2601，1 )；
z=reshape(z，2601，1 )；
m=[x y z]； 对应于%几何的n3矩阵
t=[1 0 0； 0 1 0； 0.2 )； %变换矩阵
m=m*t； %转换
x=m (3360，1 )；
y=m(:,2);
z=m(:,3);
x=reshape(x,51,51);
y=reshape(y,51,51);
z=reshape(z,51,51);
figure;
surf(x,y,z) %绘制变换后的图形
然后我们把变换矩阵修改为
即把第二行乘以2加到第一行，由上述分析知道这样会把原图形沿y方向剪切变形，剪切量为对应x坐标的二倍，实际效果如下图所示，这里我们取俯视角以观察x-y面的情形，从右图可以看出理论分析是正确的（注意观察变换前后的y向坐标值）
5.矩阵秩的几何意义
矩阵的秩即矩阵的各向量所cdgs空间的维数不能说秩是矩阵对应图形的维数，因为矩阵的图形只取了各向量的终点，而不含有这些向量的之间的几何关系，故二者的维数不一定相等，而矩阵的秩按定义应取其向量空间维数。如下图中的空间向量a,b,c可以cdgs一个三维空间，故矩阵(a b c)的秩为3，但是其终点组成的图形是一平面，维数为2，显然和秩是不一样的
结合上面对初等变换的几何解释，正是因为三种初等变换都不改变矩阵向量空间的维数，所以对于复杂的难以观察维数的矩阵，我们可以先用初等变换作用于矩阵进行简化，然后到容易观察的形式时求出它的秩；
6.向量组线性相关/无关的几何意义注：在讨论向量cdgs的空间相关问题时，某种程度上我们可以把向量组和矩阵等价对待，二者都是一组向量的集合，只是向量组相对矩阵明确了向量的维数与向量个数，而矩阵有行与列两种选择，所以只要确定矩阵的向量取行还是列，就可以把矩阵当作向量组讨论；线性相关在代数上就是一组向量中至少有一个向量能用其余向量线性表示，而几何意义是它们所cdgs的向量空间维数少于这些向量的个数，这样就至少存在一个向量落在其余向量形成的向量空间中，而向量空间实际上是一个坐标系统，所以处于其中的点（向量）都可以由这些向量定位出来（线性表示），在向量之间表现出一种相关性；而线性无关的几何意义就是一组向量cdgs空间的维数等于这些向量的个数，这样没有任何一个向量落在其余向量形成的空间里，每一个向量对其余向量来说都是超越自身空间维度的（独立的），因而无法被定位（线性表示），表现成一种相互无关性
以上图棱锥为例，因为HI处于GH和GI所形成的面里，所以HI必然可以由这两个向量表示，所以三者线性相关（三者形成的空间维数为2<3）；而HI在IG和IF形成的平面之外，所以H点无论如何都不能被GI和IF定位到，同时IF也不在IG和HI形成的平面里，IG不在IH和IF形成的平面里，同理可知它们之间不能线性表示，所以三者线性无关（三者形成的空间维数为3=向量个数）
7.方程Ax=0的几何意义由前面叙述容易看出此方程表示向量x与A的每一个行向量都垂直，或者说向量x垂直于矩阵A的行向量空间。这样我们可以直接根据几何意义得到结论：Ax=0有非零解的充要条件是矩阵A的秩要小于x的维数n；这是因为对于确定维度的向量空间M，如果我们可以找出独立于它的一维或多维空间N，则在空间N里的向量总是垂直于空间M；例如在直角坐标系O-xyz中，设A是x-y平面上的向量空间，x是空间向量，因为z维上的向量总是垂直于A，所以x在这一方向上存在无数非零解。反之若矩阵A的秩等于n，且x非零，则由于x也在n维空间内，所以它和A中的行向量必然线性相关，无法独立于A的行向量空间，所以这时仅有零解。
当方程有非零解时，设A的向量空间维数为R（秩），由上叙述可知解向量x中存在n-R个分量取值自由，如果我们把这n-R个自由变量看作是一个n-R维空间中的向量坐标时，显然此空间中每一个向量都能确定原方程组的一个解，又因为每一个向量都可以用这个n-R维空间的一组单位正交基线性表示，所以这组单位正交向量所确定的一组解通过线性组合就可以表示出原方程的任意解，故这组解就是原方程的一个基础解系，上述叙述也正是基础解系的几何意义
8.方程Ax=b的几何意义设A是m*n矩阵，x是n维向量，由前述几何意义知道，如果b处于A的向量空间中（b和A的向量线性相关），则一定可以由A的向量线性表示，也即解存在，而b落在A的向量空间等价于b的维数小于等于向量空间A的维数，也可表述为R(A)=R(A b)=R，即A的秩等于增广矩阵的秩，这种表达也是许多教科书中常用的。当R=n时，n维向量x的每个分量都是线性表示的确定系数，故只有唯一解，而R<n时，向量空间有n-R个维度不存在，故这些维度上对应的系数可任意（自由变量），这时存在无穷多解
作者：Vieta_Qiu
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来源：简书
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