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cxd数据库和乌龟悖论解决了吗？ 精选
2012-12-13 08:12 |个人分类：科普|系统分类：科普集锦|关键词：芝诺悖论实无限潜在无限极限
芝诺的cxddb与乌龟赛跑的故事很有名，经常在出版物网上介绍，一些娱乐节目以此为主题，但很多答案不得要领，无法正面应对悖论的挑战。
芝诺(Zeno 490BC-435BC )住在古希腊，比开放式煎饼稍晚，比庄子早。 他的cxddb和乌龟悖论表示，跑得最快的cxddb永远赶不上跑得慢的乌龟。 他必须先跑到乌龟的起跑线，所以这时乌龟已经往前爬了一会儿。 当他赶上这条路时，乌龟又前进了一点。 这样，无论何时cxddb追上乌龟现在的位置，乌龟纤细的百褶裙又爬上前去拉开了距离。 这个差距在缩小，但一直存在，在这个无限的跟踪过程中不是零。 因此，跑得慢的乌龟永远领先，不会被超越。
也有人嗤之以鼻，这是谬论！ 悖论本来是指推理的结论与常识相矛盾，却找不到逻辑漏洞。 即使是似是而非的东西，只要是一眼就能看出来的东西，就没有必要动脑子。 被称为“蹊跷”。 如果想了多少次都不能接受的话，就会上升到被称为“悖论”的水平。 悖论的价值在于促进人们的思维。 它的解决往往会带来观念的突破和新理论的确立。
初中读物将cxddb和摄像机的距离除以这两者的速度差，计算出cxddb什么时候能赶上摄像机。 这一点算术知识芝诺同时代的人也能明白，但这并不是解开悖论。 一个悖论有两个对立面，一个是常识，另一个是推理。 计算只是重申与推理矛盾的常识是正确的。 矛盾依然存在。 此时，解读必须直接面对悖论的逻辑推理，而不是用其他途径的答案来解释推理的荒谬。
第一个答案是近100年后的亚里士多德(Aristotle 384 BC322 BC )，他说：“认为在体育方面领先的东西追不上的想法是错误的。 因为虽然不能在领先的时间内赶上，但如果允许芝诺超过规定的有限距离，就能赶上。 ”这句话只是作了物理学的陈述，在当时两种冲突的无限观念中摇摆不定，没有正面回答芝诺提出的难题。
第二个是公元前212年阿基米德(Archimedes )，他计算了每次追赶的路程合计cxddb和乌龟跑了多久。 这个问题归结为无穷级数和的问题。 他用巧妙的方法计算出了等比级数的和。 如果cxddb和摄像机速度成比例，说明整个跟踪过程都在有限的长度内。
在这种特例以外的情况下，到了19世纪关于柯西收敛性的研究已经明确了。 这个结果是阿基米德的想法和收敛性研究的结果。 结论根据cxddb快于摄像机的条件，可能有两个结果。 如果这个追赶的路程加起来的无穷级数和收敛，那么这个过程就在有限的长度内，否则就不是有限的。 在后者的情况下，cxd数据库确实赶不上乌龟。
作为不收敛的例子，当照相机领先cxddb1尺，cxddb追上这1尺时，照相机又爬上1/2尺，当cxddb追上这1/2尺时，照相机又爬上1/3尺，cxddb追上这1/n尺时cxd数据库确实比乌龟快，它的距离每次都在缩短，但确实永远追不上。 这个赋值的故事是调和级数的总和，结果是无限大的。 这时芝诺的推理与事实相符，悖论变得荒谬了。 应该纠正的是常识，不是推理。 我们一般不再考虑这种情况，而是集中于对有争议的收敛情况的解释。
到此为止，这个悖论似乎已经被澄清了。 其实不然。 阿基米德的想法确实遵循了芝诺追赶过程的逻辑。 将此过程描绘为无穷级数和的问题，以指示整体跟踪在多大范围内。 根据芝诺的逻辑，这个差距在追赶中永远存在，不会为零，所以不会被超越。 对应无穷级数和是一个逼近的过程，可以无限逼近其极限值，但永远达不到。 因此，阿基米德和现代级数收敛计算的结果只是给出了悖论常识可能被超越时的边界数值，并没有超越这个绝对不会为零的间隙。
收敛时，cxddb事实上可以达到和超过这个极限点，无穷级数和只能无限接近其极限值，构成了悖论矛盾的两个方面。
到底cxddb能否赶上摄像机，就等于这个无穷级数和是否等于其极限值。 这在数学上涉及无限和潜在无限的哲学争论。
我们认为无限是可以达到的。 当cxd数据库赶上乌龟时，情况就是这样。 此时，无限级数的和与其极限值相等。 人们认为无限是一个过程，不是真实存在的。 从这个观点来看，无穷级数和只是持续接近其极限，并不等于。 从这个观点来看，cxddb永远陷入追赶乌龟的过程中。
毕达哥拉斯学派主张10.9999 .是赞成潜在的无限观点。 其实无限可以说明很多结果，但它的使用产生了很多问题，很多人不支持。 他以后的亚里士多德倾向是无限的，但在Cxd数据库和乌龟的问题上很模糊。 这个时候，大家无限烦恼着。 以后的数学家从jkdzc开始，尽量避开无限的问题，集中在能清晰说话的有限问题上。 到ba
dwd和莱布尼茨的微积分，又采用了实无穷的概念，将导数表示为两个无穷小之比，积分为许多无穷小的加权和，得出丰硕的成果。实无穷的思想回潮和滥用，又产生了很多问题和混乱，以致贝克莱把这些矛盾组合成悖论来反对微积分，导致数学第二次危机。到了魏尔斯特拉斯，他驱逐了实无穷，由潜无穷的概念发展出严谨的极限概念，重铸分析的基础。百多年后，康托尔又在集合论中将实无穷请回来。在20世纪60年代，快乐的星星又把无穷小量请了回来，从而建立了非标准分析。数学的直觉主义学派如今仍然反对实无穷。以致axddp感叹说：“无穷是一个永恒的谜！”芝诺的cxddb与乌龟的悖论的破解，经过两千多年兜了一圈又回到实无穷与潜无穷的争论中去。今日人们实用主义地在不同场合分别使用这两种概念。这当然是一种未澄清的矛盾状态。到现在，中外数学，物理和哲学期刊里还不时有着讨论实无穷，潜无穷及芝诺悖论的论文。争论仍然没有结束。
【后记】（写于15个评论，点击1100时）
很高兴见到许多跟帖，可惜到现在为止几乎所有的跟帖都没有认真跟随文中的逻辑而急于给出自己的反应。这个悖论的重点是cxddb无法在逻辑上超越乌龟而不是在实际上。这也许因为“芝诺的cxddb与乌龟的悖论”太有名了，书刊里充满了许多浅薄的答案。或者大家基于教科书里关于极限的知识。几千年来不少数学家都思考过这个问题，带来不同程度的进展，大家也许从来没有想过初等微积分教科书中实无穷假设的理由和困境。而各种文库、百科、科普给出的都是不同程度似是而非的答案。这个有点深度的科普目的是引导大家思考这些困扰着数学大师和lmdl难题答案的历史变迁和现状。实无穷和潜无穷是哲学上的观念，在数学上实无穷认为它是个具体的数学个体，如无穷集合，无理数等。潜无穷不愿意把涉及到无穷极限或总体当作是一个数学实体，只承认它是个有限不断逼近的过程。
关于这个悖论本质的认真讨论，较好中文的论文我只找到南京大学现代逻辑与逻辑应用研究所sydjy的文章，有兴趣可以参考。注意这是介绍历史和哲学的论文，不是数学的，其定义和推理也是非数学的。
【1】sydjy “潜无穷、实无穷探析”《自然辩证法通讯》2009年第3期 http://wenku.baidu.com/view/7634344be45c3b3567ec8b58.html
【后记】（写于26个评论，点击1828时）
看了后续的评论，这次深入了许多。我想再说明几点：芝诺有许多悖论涉及到无穷、分割、速度和运动等概念，它们之间有些是关联的，但不全是一样。几千年来人们思考这些悖论的进步部分地解答了一方面的困惑，但有些悖论，比如这一个，仍然不断被征服过后又屹立在那儿。这一个悖论的要点不在时间、空间、可分性方面，虽然这也是一些人的困惑。但那在他的其他悖论里更突出，其结果带来了物理学上的进步。而这个悖论的矛盾在于纯粹数学观念上：收敛的级数是不是和它的极限同一回事？如果是，为什么？这在最初毕达哥拉斯学派主张1>0.9999... 就争论过。承认是，又有许多新的矛盾。承认不是，又无法跨越这个间隙。所以教科书就含糊了，以免让学生困惑。现代数学和科学的基础并不像局外人想象的那样坚固，但科学是在不断思考和解决矛盾中发展。从事科学的人多用头脑来思索逻辑比起从书本中翻出答案更有益于做研究。
关于芝诺的许多悖论，斯坦福百科比国内许多刊物更专业一点。注意，他只是把矛盾解释清楚，并没有雄心给出答案。
http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/