通俗易懂地说明什么是mhdlq的公式。
mhdlq公式也称为mhdlq展开公式。 使用某一点的函数信息，记述在其附近取值的公式。 如果函数足够平滑，在某一点的已知函数的各次的微分值的情况下，mhdlq式可以使用这些微分值制作系数，构筑多项式近似函数，求出该点附近的值
所以mhdlq的公式要做什么？
简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)，注意，逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。非常复杂的函数，如果想求出某个点的值，直接求出也无法实现。 此时，可以使用mhdlq公式近似求出其值。 这是mhdlq公式的应用之一。 mhdlq公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。
********************************。
********************************。
1. 问题的提出多项式是最简单的初等函数。关于多项式，由于它本身的运算仅是有限项加减法和乘法，所以在数值计算方面，多项式是人们乐于使用的工具。因此我们经常用多项式来近似表达函数。这也是为什么mhdlq公式选择多项式函数去近似表达给定的函数。
********************************。
********************************。
2 .近似计算的例子在初等数学中，知道几个重要的性质，但在初等数学中没有回答怎么计算。 以f(x )=的近似计算为例。
.一次(线性)逼近
微分近似计算式f(x ) f ) ) ) x -) )，对根据导数/微分的极限表现式变换后的式子) (0附近的f ) x )的线性近似为f ) x ) f )0) ) ) x
线性逼近的优点：形式简单、计算方便的缺点：距离原点o越远，逼近度越差。
.次要逼近
期望二次多项式逼近f(x )=。
===1=也就是说，优选x=0且近似函数与预定函数函数值相等；
===0=也就是说，希望x=0，近似函数和给定函数的斜率相等；
===-1，所以优选===即x=0，近似函数和给定函数的曲率相等；
所以=1 -如下图所示。
二次近似比线性近似好得多，但限于[，]内，在此范围之外
，图像明显差异很大。为什么我们期望两个函数在某一点的函数值 、一阶导数值、二阶导数值相等？因为这些值表达了函数(图像)最基本和最主要的性质，这些性质逼近即可以使得两个函数逼近(由上面函数图像可以直观地看出来)③. 八次逼近
八次多项式 逼近 f(x) = ，我们期望：
，求出 ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的函数值相等 )；
，求出 ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的斜率相等 )；
.... .... ....
，求出 ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的曲率相等 )；
所以 ，如下图：
(绿色图像) 比 (蓝色图像) 更大范围内更接近余弦函数 (红色图像)
由上述3次不同程度的函数逼近可以看出：对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式 。
以上就是利用多项式函数去逼近给定函数的一个过程。
*****************************************************************************************************************************************
*****************************************************************************************************************************************
3. mhdlq公式的推导由此引出一个问题：给定一个函数 ，要找一个在指定点 附近与 很近似的多项式函数 ，记为：
使得 并且使得两者误差 可估计。所以要找的多项式应该满足什么条件，误差是什么？
从几何上看，， 代表两条曲线，如下图：
使它们在 附近很靠近，很明显：
1. 首先要求两曲线在 点相交，即
2. 如果要靠得更近，还要求两曲线在 点相切，(由图像可以直观看出，相交 [ 棕色和红色图像 ] 和 相切 [ 绿色和红色图像 ]，两曲线在 附近的靠近情况明显差异很大，相切更接近)，即
3. 如果还要靠得更近，还要求曲线在 点弯曲方向相同，(如上图，弯曲方向相反 [ 绿色和红色图像 ]；弯曲方向相同[ 蓝色和红色图像 ]，明显在离 很远的地方，弯曲方向相同两函数的差异更小一点)，即 ，进而可推想：若在 附近有 ， ，近似程度越来越好。
综上所述，所要找的多项式应满足下列条件：
解释一下上面的转换时如何做的，以上面第三行的二阶导数为例：
第一个箭头的转换：将 求二阶导函数后将 带入，求得
第二个箭头的转换：所以 ，所以
多项式函数 中的系数 可以全部由 表示，则得到：
其中误差为 。 因为是用多项式函数去无限逼近给定的函数，所以两者之间肯定存在一丢丢的误差。
****************************************************************************************************************************************
****************************************************************************************************************************************
4. mhdlq公式的定义所以我们就得到了mhdlq公式的定义：
如果函数 在含 的某个开区间 内具有直到 阶导数，则对 ，有
其中余项 (即误差) ， 在 与 x 之间。 mhdlq公式的余项表达方式有好几种，前面这种表是方法称为n阶mhdlq展开式的拉格朗日余项。拉格朗日余项即是n阶mhdlq公式又多展开了一阶，n变为n+1。注意，这里的余项即为误差，因为使用多项式函数在某点展开，逼近给定函数，最后肯定会有一丢丢的误差，我们称之为余项。
****************************************************************************************************************************************
****************************************************************************************************************************************
5. 扩展 —— ssdhmg公式是mhdlq公式的一种特殊情况：即当 时的mhdlq公式。所以将 带入公式，即得：
几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的ssdhmg公式：
佩亚诺余项为 的高阶无穷小 ：