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1、1.4常用分布及其分位数1 .卡方分布卡方分布、t分布和f分布都是由正态分布推导出来的分布，它们与正态分布一起是实验统计中的常用分布。 当X1，X2，Xn相互独立且服从n (0，1 )时，Z=的分布称为自由度等于n的分布，表示为z ) n，其分布密度p(z )=式中的)，称为函数，并且(1，=)。 分布是不对称的，具有可加性。 也就是说，y和z相互独立，并且y(n )，z ) m )的情况下，yz ) nm )。 证明：先令X1、X2、Xn、Xn 1、Xn 2、Xn m彼此独立且遵循n (0，1 )，并且基于分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，Y=X X X，Z=X X X，y-z=
2、可以得到x，yz(nm )。 2 .若t分布x和y相互独立，且xn (0，1 )，y ) n )，则Z=的分布称为自由度等于n的t分布，表示为zt(n )，其分布密度p ) z )=。 注意：t分布密度也是一个偶函数，对于n30，t分布与标准正态分布n (0，1 )的密度曲线基本重合。 此时，调查n (0，1 )的分布函数值即可得到t分布的分布函数值。 3. F分布x和y相互独立且x(n )，y ) m )时，Z=的分布称为第一自由度为n，第二自由度为m的f分布，表示为ZF(n，m )。 请注意，其分布密度p(z )也是不对称分布，其分布密度与自由度的顺序有关。 ZF ) ) ) )
3，f(m，n )。 4 .如果t分布与f分布的关系XT(n )，则Y=XF(1) 1，n )。 证： XT(n )，x的分布密度p ) x )=。 在Y=X的分布函数f(y )=PY0的情况下，f ) y )=P-=1-F )=的整数，并且两侧数为2，其中PX2=1-F(2) )=0.5。 1-F ()、f ) )=1-，因此上侧分位数为1-分位数x 1-； 由于f(1)=0.5、1-f )=0.5，所以两侧分位数1为0.5分位数x 0.5，两侧分位数2为1-0.5分位数x 1-0.5。 2 )设标准正态分布分位数为u，0.5分位数为0.5，1-0.5分位数为u 1-0.5。 xn (0，1 )时，pxu1-=1- F0，1。
4、(u 1-)=，因此根据标准正态分布密度曲线的对称性，u=-u 1-。 例如u 0.10=-u 0.90=-1.282、u 0.05=-u 0.95=-1.645、u 0.01=-u 0.99=-2.326、u 0.025=-u 0.975=-1.960、u0.005 5 )f分布的分位数用f(n，m )表示。 f(n，m ) 0，xf ) n，m )时，PX=1-，P1.44。 习题答案：1.2. 73，21.0。 2.- 1.860，1.782。 3 .3.37。 4. 1.960为上侧0.025点，-1.960和1.960为两侧0.05点。 5. 2.132为上侧0.05分位数，-2.132和2.132为两侧0.1分位数。 6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05分位数，0.711和19.49为两侧0.1分位数。 7. 9.01为上侧0.05分位，5.41为上侧0.05分位，5.41为两侧0.1分位，9.01为两侧0.1分位。 8. 0.1。 113。