不考虑坐标系变换坐标系变换直线移动，加上平移齐次坐标系和平移追溯过程矩阵变换坐标系变换or位置变换的总结
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坐标系变换例如现在有点p。 a坐标系中的坐标为(x，y )。 如何求出点p在其他坐标系中的坐标呢？ 例如，你想知道b坐标系中p点的坐标吗？
类比一下，如果两个说不同母语的人想交流，怎么办？ 此时，如果有中文那样的coordinate就好了。 这样，当说英语的人向说法语的人打招呼时，他把世界通用语言英语的“hello”转换成中文的“你好”，然后说法语的人说“你好”
这里有两个过程：
hello 你好 Bonjour这两个过程有一个重点：
你好-中文
是的，是世界通用语言。 我们的中文是字典。 她在不同的语系中扮演着key point的角色。
回到坐标系，使用不同的坐标系就像使用不同的语言，即使各说各的话，彼此也不理解。 如果你想被理解，用大家都能接受的方式交流。 此时，如果导入桥梁，世界就会变得和平：
可以将p点的坐标转换为参照坐标，然后从参照坐标转换为b坐标系的坐标。
A GlobalGlobal B现在，我们的问题是求出某个坐标系x和参照坐标系Global之间的变换方法：
X Global
参考坐标系考虑到不同坐标系的共同原点，如下所示。
选择坐标系a作为参照坐标系，如何表示：
b ) a
答案是：不考虑平移
矩阵变换与词典翻译一样，将一个坐标系下的点变换为另一个坐标系的点。
矩阵和线性变换中提到了矩阵变换在同一坐标系下的作用。 例如，旋转向量。 目前，矩阵变换不可思议地被用作坐标系变换的工具。矩阵变换
将矩阵变换到同一坐标系可以理解为坐标系不变，点的位置不变。 将矩阵变换到不同的坐标系可以认为点的绝对位置不变，坐标系不变。 实际上在矩阵和线性变换变换还是同样的变换，只是站在了不用的角度看待问题的节中，提到了变换关系。 下面是上图的对应表示：
(1) x(y ) )=b ) xy ) xy )=B1 ) x ) y )，B=[b1b2]，并且b1，b2是坐标系b的基向量
这里，拓展，[xy]是向量OP或点p在b坐标系中的显示，[ xy]是向量OP或点p在a坐标系中的显示。 求出矩阵b，就可以制作翻译用的词典。
这一切都在矩阵b的各列向量上，在b坐标系的基向量上。
更明确地说，矩阵b的列向量可通过线性变换从坐标系a的基向量获得，所述线性变换可完全由矩阵b表示。 有关详细信息，请参阅矩阵和线性转换。
与上图对应的矩阵b的两个列向量分别为b1=[25/55/5]、b2=[5/525/5]。
实际上，a、b可以是任何坐标系，式(1)依然成立，只要满足以下条件
3http://www.Sina.com/http://www.Sina.com/http://www.Sina.com /坐标系b基矢量是坐标系a的基矢量之一，其中
确定坐标系B的基向量在A坐标系中的表示的过程叫做B坐标系的定位(landed)。将B坐标系的基向量定位在A坐标系中确定了一种关系，我们暂且把这种关系称为追溯关系，把A坐标系称为B坐标系的上游坐标系。反过来，如果把坐标系A的基向量定位在B坐标系中，那么B坐标系就成了A坐标系的上游坐标系。下面，用图说话：
以图中的两个向量 b1→,b2→ 为基确定一个坐标系B，显然，在B坐标系中 b1B→=[10],b2B→=[01] ， 接下来，将 b1→,b2→ 定位到A坐标中，得到 b1A→=[21],b2A→=[−11] 。
∵ OP→ = 2 b1→ +2 b2→
∴ OP→ 在B坐标系中的表示为 [22] ，现在，将 OP→ 用A坐标系描叙：
OP→ = 2 b1→ +2 b2→ = 2b1A→+2b2A→ = [b1A→b2A→] [22] = [24]
现在，令矩阵 B = [b1A→b2A→]，P点是用B坐标系表示的任意一点 (x,y) 。
于是 OP→ 在A坐标系中的表示 [x′y′] = B [xy] ，显然， B 是可逆的，于是就有了(1)式的结论。
虽然这里的讨论是基于二维的，但是，不难想象，这里得出的结论可以扩展到任意维度。
用一句话来阐述这个结论：
将B坐标系的基向量定位到A坐标系，然后将定位之后的基向量作为矩阵B的列向量，用矩阵 B 对B坐标系中的点P的坐标进行矩阵变换，将得到点P在A坐标系中的坐标。这个过程，就是从坐标系B到坐标系A的一个追溯过程。
加入平移平移好像没什么好说的，不过就是在前面讨论的基础上引入一个偏移。
下面用图示说明：
上图引入了一个新的坐标系，取名为A’。将这个坐标系取名为A’是有原因的，因为他基本就是坐标系A的一个替身，他们之间除了坐标原点发生偏移之外，其他特征完全一致。
有了前面的基础，我们知道，将坐标系B中的坐标转换为坐标系A’中的坐标其实就是一个从B到A’的追溯过程。只要将坐标系B的基定位到A’坐标系中，以定位之后的基向量为列组成矩阵B，然后对坐标系中的坐标进行 B 矩阵转换就能得到其在A’坐标系中的坐标。反过来，求出矩阵B的逆，我们就能将A’坐标系中的坐标转化为B坐标系中的坐标。
也就是说，利用前面讨论的结论，我们能完成：
B↔A′
[x′y′] = B[xy] ⇒ [xy] = B−1[x′y′]
剩下的问题就是：
A′↔A
这个问题就是一个加减偏移量的问题，所以看图就一目了然了。
齐次坐标系与平移引入齐次坐标的好处之一是可以使用矩阵表达平移：
所以 A′↔A 之间的变换可以用这么一个矩阵变换来完成。
追溯过程
将坐标系B的基向量定位到坐标系A’中，得到向量 b1A′→,b2A′→ ，所以从坐标系B追溯到坐标系A’的矩阵 B = [b1A′→b2A′→]。 A′→A 的平移矩阵 T 为 ⎡⎣⎢100010TxTy1⎤⎦⎥。
故，将坐标系B中的点 p(xB,yB) 追溯到坐标系A中可以用下面的矩阵变换表示：
1). 将坐标变换到坐标系A’：
[xA′yA′] = B [xByB]
2). 将坐标变换到坐标系A中：
[xAyA] = T [xA′yA′]
综合起来就是：
[xAyA] = T B [xByB]
反过来， A→A′ 的平移矩阵 T′ 为 ⎡⎣⎢100010−Tx−Ty1⎤⎦⎥ ，从坐标系A’追溯到坐标系B的矩阵 A′ = B−1
故，将坐标系A中的点 p(xA,yA) 追溯到坐标系中B中可以用下面的矩阵变换表示：
[xByB] = A′ T′ [xAyA] = (TB)−1 [xAyA]
矩阵变换：坐标系变换 or 位置变换
站在不同的角度看同一个矩阵变换 Bx⃗ ：
1). 位置变换：
A坐标系中：
向量 OP→=[22] ， 向量 b1→=[21] ， b2→=[−11] ， 令矩阵 B = [b1→b2→]，则矩阵变换 Bx⃗ 会将 OP→ 变到 OP′→ 。
2). 坐标系变换：
B坐标系中：
向量 OP′→=[22]
A坐标系中：
向量 b1→=[21] ， b2→=[−11] ， 令矩阵 B = [b1→b2→]，则矩阵变换 Bx⃗ 会将 OP′→ 从坐标系B变到坐标系A。
总结于是，对任意坐标向量 x⃗ ，矩阵变换的组合 M1M22M3...Mn 作用于 x⃗ 存在两种解释。
x′→ = M1M22M3...Mn x⃗ 的两种解释：
1). 坐标系不变，位置变换：
将 M1M22M3...Mn 看作从右到左依次作用的矩阵变换。首先 Mn 变换， 将坐标向量 x⃗ 变换到了 xn−1→ = Mn x⃗ ，接着是 Mn−1 变换，将坐标向量 xn−1→ 变换到了 xn−2→ = Mn−1 xn−1→ …。所有的中间结果都是同一个坐标系中的坐标向量，所有的变换都是针对同一个坐标系的变换。
2). 位置不变，坐标系变换：
将 M1M22M3...Mn 看作从左到右依次作用的矩阵变换。首先 M1 变换，将M1坐标系中的坐标向量 x1→ 转换为起始坐标系中的向量 x′→ ， x′→ = M1 x1→ ，然后是 M2 变换，将M2坐标系中的坐标向量 x2→ 转换成M1坐标系中的坐标向量 x1→ ， x1→ = M2 x2→ …最后是 Mn 变换，将Mn坐标系中的坐标向量 x⃗ 转换成Mn-1坐标系中的坐标向量 xn−1→ ， xn−1→ = Mn x⃗ 。所有的中间结果都是不同坐标系中的坐标向量，且坐标向量的绝对位置没有改变（想象该点被一个钉子钉住）。从Mn坐标系的坐标向量 x⃗ 依次与 MnMn−1...M3M2M1 矩阵相乘最终转换到起始坐标系对应的坐标向量 x′→ 的过程就是一系列前面提到过的追溯过程。