作为一个伪ACMer,先来首广为人知的打油诗：
模拟只能推测问题的含义，贪婪只能作为样本。 数学上先做个表。 规律是DP，数学相结合谋运气，几何计算荒谬暴力，图论循规蹈矩。 数论只能是GCD。 递归地头痛。 搜索茫然的TLE。 分治不胜枚举。 暴力列举数排名第一，数据结构荒谬，通过愤怒寻找水问题增强自信。
文章目录1、树2是什么，最小生成树3、最小生成树的应用4、实现最小生成树的两种算法4.1 prim (棱镜算法) 4.2kruskal ) ajdsb算法) 5、总结
1、什么是树
如果一个无向连通图不包含回路(连通图中不存在环),那么就是一个树。
2、最小生成树一个图中可能存在多个连续的边。一定可以从一个图中挑出一些边生成一棵树。这只是生成树，还没有满足最小值。当图中每条边都存在权重时，这时候我们从图中生成一棵树(n - 1 条边)时，生成这棵树的总代价就是每条边的权重相加之和。
一个有N个点的图，边一定是大于等于N-1条的。图的最小生成树，就是在这些边中选择N-1条出来，连接所有的N个点。这N-1条边的边权之和是所有方案中最小的。
3、最小生成树的应用是在n城市之间铺设光缆，主要目标是在n城市任意两个之间都可以通信，但由于光缆铺设费用高，各城市之间光缆铺设费用不同，另一个目标是
4、实现最小生成树的两种算法4.1 prim (prime算法)使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到
Prim算法算法分析：，且与这个蓝点u和白点相连的最小边缘权重min[u]是当前所有蓝点中最小的。 这相当于在生成树中添加n-1次最小的边，最终得到的一定是最小生成树。
我们通过下图最小生成树的求解仿真来理解上述思想。 蓝点和虚线表示未位于最小生成树中的点和边缘。 白点和实线表示进入最小生成树的点和边缘。
一开始所有的点都是蓝点，min[1]=0，min [ 2，3，4，5 ]=。 权重之和MST=0。
第一个循环当然是找到min[1]=0的最小蓝点1。 将1变更为白点，然后列举与1相关的所有蓝点2、3、4，修正与白点相关的最小边权。
min[2]=w[1][2]=2；
min[3]=w[1][3]=4；
min[4]=w[1][4]=7；
第二个循环是找到min[2]最小的蓝点2。 将2变更为白点，然后列举与2相关的所有蓝点3、5，修正与白点相关的最小边权。
min[3]=w[2][3]=1；
min[5]=w[2][5]=2；
第三个循环是找到min[3]最小的蓝点3。 将3变更为白点，然后列举与3相关的所有蓝点4、5，修正与白点相关的最小边权。
min[4]=w[3][4]=1；
min[5]=2 w[3][5]=6； 所以不修正min[5]的值。
在最后两个循环中，点4、5和边w[2][5]、w[3][4]被添加到最小生成树中。
最后权重之和MST=6。 这n次循环可以在每个循环中向生成树添加新的点，n次循环可以覆盖所有的点； 可以在每次循环时向生成树中添加新的边，从而在n-1次循环中生成包含n个点的树； 在每次循环时取最小的边加入生成树，在n-1次循环结束后得到最小的生成树。 这就是Prim利用贪婪法生成最小生成树的原理。 算法的时间复杂度： o(n2 )。
每次循环都将一个蓝点u变为白点
标题：https://www.AC wing.com/problem/content/860 /
代码：
//prim算法最小生成树# include cstdio # include string # include cstring # include iostream # include algorithm # define INF0x3F3 int a[maxn][maxn]； int vis[maxn]，dist[maxn]； int n，m； int u，v，w； 龙龙sum=0； intprim(intpos ) {dist[pos]=0； //如果总共有n个点，则需要遍历n次，每次都要查找权重最小的点，并记录其下标for (inti=1；
i <= n; i ++) {int cur = -1;for(int j = 1; j <= n; j ++) {if(!vis[j] && (cur == -1 || dist[j] < dist[cur])) {cur = j;}}// 这里需要提前终止if(dist[cur] >= INF) return INF;sum += dist[cur];vis[cur] = 1;for(int k = 1; k <= n; k ++) { // 只更新还没有找到的最小权值if(!vis[k]) dist[k] = min(dist[k],a[cur][k]);}}return sum;}int main(void) {scanf("%d%d",&n,&m);memset(a,0x3f,sizeof(a));memset(dist,0x3f,sizeof(dist));for(int i = 1; i <= m; i ++) {scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);a[u][v] = min(a[u][v],w);a[v][u] = min(a[v][u],w);}int value = prim(1);if(value >= INF) puts("impossible");else printf("%lldn",sum);return 0;} 4.2 kruskal (ajdsb算法)Kruskal（ajdsb）算法是一种巧妙利用并查集来求最小生成树的算法。
算法描述:
在描述 kruskal 算法时先了解一下连通块的概念, 我们将无向图中相互连通的一些点称为处于同一个连通块中。
从上图我们可以清晰的看到,有 3 个连通块(1,2),(3),(4,5,6)。
Kruskal算法将一个连通块当做一个集合。Kruskal首先将所有的边按从小到大顺序排序（一般使用快排），并认为每一个点都是孤立的，分属于n个独立的集合。然后按顺序枚举每一条边。如果这条边连接着两个不同的集合，那么就把这条边加入最小生成树，这两个不同的集合就合并成了一个集合；如果这条边连接的两个点属于同一集合，就跳过。直到选取了n-1条边为止。
Kruskal（ajdsb）算法开始时，认为每一个点都是孤立的，分属于n个独立的集合。
5个集合{ {1}，{2}，{3}，{4}，{5} }
生成树中没有边
Kruskal每次都选择一条最小的边，而且这条边的两个顶点分属于两个不同的集合。将选取的这条边加入最小生成树，并且合并集合。
第一次选择的是<1,2>这条边，将这条边加入到生成树中，并且将它的两个顶点1、2合并成一个集合。
4个集合{ {1，2}，{3}，{4}，{5} }
生成树中有一条边{ <1,2> }
第二次选择的是<4,5>这条边，将这条边加入到生成树中，并且将它的两个顶点4、5合并成一个集合。
3个集合{ {1，2}，{3}，{4，5} }
生成树中有2条边{ <1,2> ，<4,5>}
第三次选择的是<3,5>这条边，将这条边加入到生成树中，并且将它的两个顶点3、5所在的两个集合合并成一个集合
2个集合{ {1，2}，{3，4，5} }
生成树中有3条边{ <1,2> ，<4,5>，< 3，5>}
第四次选择的是<2,5>这条边，将这条边加入到生成树中，并且将它的两个顶点2、5所在的两个集合合并成一个集合。
1个集合{ {1，2，3，4，5} }
生成树中有4条边{ <1,2> ，<4,5>，< 3，5>，<2,5>}
算法结束，最小生成树权值为19。
通过上面的模拟能够看到，Kruskal算法每次都选择一条最小的，且能合并两个不同集合的边，一张n个点的图总共选取n-1次边。因为每次我们选的都是最小的边，所以最后的生成树一定是最小生成树。每次我们选的边都能够合并两个集合，最后n个点一定会合并成一个集合。通过这样的贪心策略，Kruskal算法就能得到一棵有n-1条边，连接着n个点的最小生成树。
精彩例题:
题目链接:https://www.acwing.com/problem/content/861/
Code:
// Kruskal 算法求最小生成树 #include <cstdio>#include <string>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 2e5 + 10; struct node {int x,y,z;}edge[maxn];bool cmp(node a,node b) {return a.z < b.z;}int fa[maxn];int n,m;int u,v,w; long long sum;int get(int x) {return x == fa[x] ? x : fa[x] = get(fa[x]);}int main(void) {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i = 1; i <= m; i ++) {scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].z);}for(int i = 0; i <= n; i ++) {fa[i] = i;}sort(edge + 1,edge + 1 + m,cmp);// 每次加入一条最短的边for(int i = 1; i <= m; i ++) {int x = get(edge[i].x);int y = get(edge[i].y);if(x == y) continue;fa[y] = x;sum += edge[i].z;}int ans = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++) {if(i == fa[i]) ans ++;}if(ans > 1) puts("impossible");else printf("%lldn",sum);return 0;} 5、总结从上面的两道模板可得知,解决最小生成树的问题一般有两种方式:prim 和 Kruskal ,那么,什么时候选择哪种策略就成为了我们应该思考的一个问题:
稀疏图一般选择 prim,采用 邻接矩阵 进行存储边之间的关系。
稠密图一般选择 Kruskal ,采用邻接表进行存储边之间的关系(更多采用结构体的方式)。
参考链接:https://www.cnblogs.com/SeanOcean/p/10975694.html