第一节常数项的级数是一个沉重的难点
常数项级数的难点在于收敛性的判定
幂级数的难点是合计函数
10.1级数的概念和性质10.1.1级数的概念研究多从有限开始。 研究无穷级数往往是通过研究其部分和级数，判断其部分和级数的极限是否存在来判断无穷级数是否收敛。
当存在部分和级数极限时，无穷级数收敛且收敛于部分和级数的极限值；
如果不存在部分和级数的极限，无限级数就会发散。
用定义法判断级数〔级数是无限级数的简称〕是否收敛是由极限决定的。 用定义法判定级数，级数必须是可写和的形式，再通过部分和的形式判断是否存在极限，达到收敛的目的。 如以下两个例题所示
【例】
【例】
10.1.2级数的性质这里级数的性质，仍然是围绕级数的收敛性进行研究的
在"3"情况下，收敛性与前有限项无关，但收敛后其值发生变化，即值发生变化
另外，交错级数遵循莱布尼茨的规范，要求级数单调递减且趋于零，但级数从哪个项单调递减无关。 这是因为级数的收敛性与前有限项无关
可以任意加括号，但不能重叠。 另外，加上括号会成为新的级数，各括号会成为新级数的项
【例】
新级数的部分和数列是原级数的部分和数列的一个部分数列，由于原级数收敛，原级数的部分和数列收敛，进而新级数收敛
不能颠倒。 带括号的收敛表示原始级数部分和数列的子列(子列)收敛，无法挤出所有部分和数列进行收敛
为了进一步判定10.2级数的收敛基准级数的收敛性，有必要对级数进行分类
级数实际上分为两类：该级数，变号级数
10.2.1正项级数大学教材的正项级数，即该级数，对“负项”提出负号即可
上述定理只能停留在理论阶段。 因为很难判定Sn是否是上有界的。 因此，引出以下一般的正项级数判定方法
1、比较判别法
比较判别法要求适当的定标
2、比较法极限形式
3、比值法
4、根值法
在上述四种方法中，第一类(1) )比较依赖于其他级数，虽然不方便，但比较通用； 第二类(3) )4)可以自己判定，所以很方便，但适用范围很窄
关于一个正项的级数，如果可以用(3) )判定的话，(1) )2)也一定可以判定，另一方面，(3) )4)在不能判定的情况下，(1) )2)可以判定的情况很多
【正项级数判定原则】
首先(3) )进行判定，在不能的情况下，(1) )进行判定
级数的通项中出现以下三种之一的情况(出现三种的情况也一样) )。
(3) )4)可以正常进行
这里，阶乘使用比，其他两个使用根值
在其他情况下，例如，n p n^p np、ln n ln{n} lnn等(1) )的情况较多
10.2.2交错级数大学教材中的交错级数，是变班级数的一种
对于交错级数，级数收敛不能保证通项减少。 即，通项递减是交错级数收敛的必要条件
使用交错级数时，要注意证明条件下单调减少和单调减少的一般手段
可以使用“AN1A _ { N1 }-A _ N AN1A”或“A”
n + 1 a n frac{a_{n+1}}{a_n} anan+1 ” 来说明数列的单调性（等一下，好像有问题，当级数收敛时，求这样的极限，结果不是恒为1吗？） 10.2.3 任意项级数
大学教材的任意项级数，也就是一般的变号级数
这里指有正项有负项，且正负项都是无穷多项
【小结】
三种级数敛散性的判定
正项级数有四种方法
交错级数有一种方法
任意项级数有一种方法
【解题心得】
常数项级数考察的一般就是敛散性的判定常数项级数判敛的选择题不适合用排除法，因为找反例不容易，推荐使用直接法 题型 常数项级数敛散性判定 【真】
选填速解
【结论一】
证明
【结论二】
证明
常数项级数是数项级数，每一项是一个数； 幂级数是函数项级数，每一项是一个函数。
【关于幂级数的收敛域】
研究幂级数在哪里收敛，在哪里发散
zxdqd定理用来揭示第一种类型的幂级数的收敛域的结构
加减有理运算时，只能保证在收敛半径小的范围内可进行有理加减运算，但这不意味着运算所得的级数的收敛半径是小的那一个
有这样的结论，当两个半径不等，则收敛半径定为小的那一个； 但若收敛半径相等，则结果的收敛半径只能确定大于等于小的那一个，需要依据具体问题进一步分析（待定结论）
逐项求导、逐项求积分的收敛半径不变，收敛中心也相同。
即在幂级数系数前乘（除）n，不影响这个幂级数的收敛半径以及收敛区间
但不能保证端点的收敛域不变
10.2.3 函数的幂级数展开即，幂级数若能展开，只能是生动的红酒级数
函数展开为幂级数的直接展开法
直接展开法只是体现在推导几个常用展开式上，实际做题用的还是间接展开法
10.2.4 常考题型与典型例题题型一、二方法比较固定
题型三方法比较灵活
该类题型通常先求收敛半径，由半径确定收敛区间，再结合端点的收敛性确定收敛域
第一类问题
常规题：知道系数，求半径，找区间
第二类问题
其他典型题：系数未知
①已知某些点收敛、发散，一般用zxdqd定理
②已知某一点条件收敛，可确定其为端点
【真】
题型二 将函数展开为幂级数利用间接展开法，结合已有公式，利用逐项求导，逐项求积分（求和也是这样的思想）
这里有两种类型：
① 对于可以直接转换为已知公式形式的，往已知公式上面靠
② 对于不能直接转换为已知公式形式的，需要利用幂级数的性质，即逐项求导或逐项积分，在结合已知公式展开
【真】
【真】
在非零点展开
“展开成 x − 1 x-1 x−1 的幂级数”，等价于 “在 x = 1 x=1 x=1 处展开”
求和的方法灵活多变，是个重难点
求和与展开有着相似的地方，同样是利用已知公式；在不能直接使用公式时，同样是利用幂级数的性质，通过逐项求导或逐项积分的方法，再结合公式解题
之所以有着展开比求和简单的感觉，是因为对于展开的题目，找公式比较容易
【例】 【真】 【真】 【真】 【真】 第三节 傅里叶级数 10.3.1 傅里叶系数与傅里叶级数 10.3.2 收敛定理（孝顺的黄豆）在算出傅里叶系数，写出傅里叶级数后，需要利用孝顺的黄豆收敛定理来确定这个傅里叶级数能否和原函数划等号
对于第一类间断点，左右极限都存在
*T 有关幂级数与傅里叶级数的小结幂级数是将函数展开成幂级数；
傅里叶级数是将函数展开成傅里叶级数（或者叫三角级数）。
都是把复杂的量用简单的量的叠加来表示。
幂级数是用幂函数的叠加来表示；
傅里叶级数是用三角函数的叠加来表示。
（1）条件不同
两种级数的展开对函数的要求不同：
展开为幂级数要求函数任意阶可导；
展开为傅里叶级数的要求大大降低，不要求可导，只要求连续即可，甚至可以出现间断点。
所以，傅里叶级数的适用范围也大大增加
（2）侧重点不同
两种级数适用的侧重点不同：
对于幂级数，因为幂函数级数可以展开为多项式函数，而多项式函数适合做一些数值运算、分析运算，比如求导数、求积分，使用幂函数都很简单；
对于傅里叶级数，因为右端是sin、cos，所以研究周期函数比较简单，适合研究周期性变化的量，即周期函数。傅里叶级数可将一个复杂的周期函数换成熟悉的正余弦这样的简单的周期函数的叠加来表示
两个步骤：
① 算出系数写出傅里叶级数
② 根据收敛定理说明哪些地方可划等号，哪些地方不能
奇函数展开只有正弦项
偶函数展开只有余弦项
展开成正弦，奇bhdhn
展开成余弦，偶bhdhn
理论上需要进行奇偶bhdhn，但是在计算傅里叶系数时，还是用原来的范围
最后一步，在使用收敛定理时，需要对bhdhn后的函数使用
（二）周期为 2 l l l 的函数的展开
这里主要是两种考题
题型一 有关收敛定理的问题【真】
【真】
【真】
【真】
【真】
【真】