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示例： f(x ) ) x5实数集((r ) ) )是单射函数。
这个函数很容易恢复。 我们知道f(3)=8，即8返回3
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值域中的每个元素至少有一个定义域元素对应。
例如：函数f(x )=2x是自然数集合((n ) )到非负偶数全射函数.
但是，f(x )=2x从自然数集合((n ) )到((n ) )不是全反射。 这是因为没有自然数可以用这个函数映射到3。
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或者，单射和满射都成立的情况下，f是双射。
例：函数(f(x )=x^2 ) )从正实数到正实数是单射的，也是全射的，所以是双射的。
但是，由于f(2)=4且f(-2 )=4，所以实数集) ) r ) )则不是这样
对于3358www.Sina.com/向量空间(v，w ) )，如果映射((Phi:vw ) )满足以下条件，则((Phi ) )为http://www.Sina.com和
[forall{x，y}V，\lambda，PSIr:phi(lambdax(PSIy ) ) lambda (x ) psi ) ) psi
基于已经描述的映射概念，可以更好地直观地理解同态和同构的定义。 分别如下。
() phi:vw (、)、)、)、linear\ ()、均质体(Homomorphism ) )、(phi:vw )、((、(、)、)、 、、linear 、、and 、、surjective(:完全相同状态(surjectivehomorphism ((phi : vw (，)，() ) ) ) (phi : v至v(、(、)、)、(、linear\ )、自同态(Endomorphism ) )、(phi : v至v)、(、(、(、) and ，，surjective(:自包含(Surjective Endomorphism ) ) phi:
假设当前三个向量空间分别为(v、w、x )，则它们具有以下性质：
如果存在线性映射((phi : vw ) )和(psi:wx ) )，则映射((phi ) psi:vx )也是线性映射。 () phi:vw ) )为同构(isomorphsim )时，() phi^{-1}:vw ) )也为同构。 如果(phi:vw，Psi:VW)都是线性映射，则为((psiphi ) )和() lambdaphi，lambda(r () ) )
向量空间((v ) )的基于顺序的(ordered bases )为) ) b=) b_1，b_n ) )时() v ) )中的一个向量) )
(x=_1b_1._nb_n) ) )。 此时，向量 () alpha=[_ 1，_n]^{t}(r^n ) (在向量空间() v ) )上) ) b ) )
)为基的坐标。变换矩阵(Transform Matrix) 的定义:
假设向量空间(V∈R^n,W∈R^m)的顺序基分别为(B=(b_1,...,b_n),C=(c_1,...,c_m))。对于映射(Psi:V→W)，有
[Phi(b_j)=α_{1j}c_1+...+α_{mlddy}c_m=sum_{i=1}^mα_{ij}c_i]
则我们称(A_{Phi}(i,j)=α_{ij})为映射(Phi)的变换矩阵。
所以向量空间(V)中的坐标矢量(x)与(W)中的坐标矢量(y)有如下变换关系:(y=A_{Phi}x)
2. 基变换(Basis Change)定义:
假设向量空间(V)的顺序基有两个，分别是(B=(b_1,...,b_n),tilde{B}=(tilde{b_1},...,tilde{b_n}))，向量空间(W)也有两个顺序基，分别为(C=(c_1,...,c_n),tilde{C}=(tilde{c_1},...,tilde{c_n}))。(A_{Phi})是映射(Phi:V→W)关于顺序基(B,C)的变换矩阵,(tilde{A_{Phi}})是映射(Phi:V→W)关于顺序基(tilde{B},tilde{C})的变换矩阵,两个变换矩阵的关系如下:
[tilde{A_{Phi}}$=T^{-1}A_{Phi}S]
其中(S∈R^{n×n})表示向量空间(V)从基(tilde{B})到基(B)的恒等映射(id_V)的变换矩阵,(T∈R^{m×m})表示向量空间(W)基于基(tilde{C})到基(C)的恒等映射(id_W)的变换矩阵,
先看定义:
核(Kernel/null space):
假设有映射(Phi:V→W),核(kernel)为：
[ker(Phi)=Phi^{-1}(0_w)={v∈V:Phi(v)=0_w}]
什么意思呢？就是说经过映射后,(V)中的一些值被映射到(W)的零点(如下图示)，而(V)这些值组成的集合(即左边橘黄色部分)就称为kernel。
象(Image/Range)[Im(Phi)=Phi(V)={w∈W|exists v∈V:Phi(v)=w}]
怎么理解象呢？就是说整个向量空间(V)在经过映射后在向量空间(W)上得到的集合，也就是右边黄色部分。
为方便理解，可以把kenel粗略地理解成定义域，Image理解成值域。
另外需要注意的有如下推论:
始终有(Phi(0_V)=0_W)，即(0_V∈ker(Phi))(Im(Phi),Ker(Phi))分别是(W,V)的子空间当且仅当(Ker(Phi)={0})时，(Phi)是单射。Rank-Nullity Theorem(秩-零定理):对于映射(Phi:V→W)始终满足如下等式:
[dim(Ker(Phi))+dim(Im(Phi))=dim(V)]
如果用matrix来说的话，假设A是一个n*n的matrix，则:(rank(A)+nullity(A)=n)
再通俗点说就是对A进行初等变换后得到的echelon form（行阶梯形式），不为0的行数加上全部为0的行数等于这个矩阵的行数。当然因为一般的matrix的row rank和column rank相等，所以变成column echelon form之后用列来计数也是一样的。
前面提到的映射都是经过零点的，下面介绍的仿射空间是偏离原点的空间。
1. 仿射子空间(Affine Subspaces)定义:
假设(V)为向量空间，(x_0∈V), (Usubseteq{V})为子空间，则子集
[ begin{align} L&=x_0+U={x_0+u: u∈U} notag \ &={v∈V|exists{u∈U}:v=x_0+u}subseteq{V} notag end{align} ]
称为向量空间(V)的 仿射子空间(affine subspace) 或 linear manifold。(U)称为Direction (Space),(x_0)称为support point
MARSGGBO♥原创
2018-12-16
转载于:https://www.cnblogs.com/marsggbo/p/10129075.html