概要:
在积分概念中，将积分区间是轴上的一个区间的情况称为"积分，物理意义是面积；
在积分概念中，将积分区间是平面内的闭区域的情况称为"双重积分，物理意义是体积；
在积分概念中，将积分区间是空间内的闭区域的情况称为"三重积分，物理意义是质量；
在积分的概念中，积分区间称为曲线，曲线积分(线的质量或变量沿有向曲线所做的功)；
在积分的概念中，积分区间称为曲面闭区域，称为曲面积分，物理意义为曲面的质量或流体流向曲面一侧的流量，即 单位时间内流体流向一侧的总质量。
对面积的曲面积分： 1.形式定义
中选择所需的墙类型。 其中f(x，y，z )称为被积函数，称为积分曲面。
曲面分片光滑时，=12，有：
3358www.Sina.com/:面密度(3358www.Sina.com/) *小块曲面的面积总和。
2.解析
中选择所需的族。 其中Dxy表示曲面在xOy平面上的投影。
特定体积内的质量的度量: dS=:
详情请参阅百度百科
对坐标的曲面积分：3.计算法
流向指定侧的流量如下所示。
如果瓷砖光滑且有向曲面：=12，则为
曲面反向：
理解
如果面积区域位于上侧：
区域的拆除侧：
两种曲面积分的联系： http://www.Sina.com/: http://www.Sina.com /联系；
3358 www.Sina.com/: ds=n * ds=(dydz，dzdx，dxdy )，n=) cos，cos，cos)是点) x，y，z )处的单位法线向量。
高斯公式： http://www.Sina.com/: http://www.Sina.com /表示平面封闭区域中http://www.Sina.com/http://www.Sina.com /的边界曲线
3358www.Sina.com/是空间封闭区域中的1.形式定义及其边界曲线上的3358www.Sina.com/；
2.计算法
一、其中，和的边界曲线整体的外侧。
二、其中，和的边界曲线整体的外侧。 cos、cos、cos是在点(x，y，z )的法线向量的方向余弦。
1.理解
用高斯公式计算曲面积分。 (法向量的方向余弦)
2.有向曲面元
1.概要其中，v对于n的偏导数表示函数v(x，y，z )沿着的外法线方向的方向导数。格林公式
3358 www.Sina.com/:二重积分对空间区域，例如g内的任意与所http://www.Sina.com /的区域都属于g
内时，为任一曲线积分的关系
>闭曲线 总可以 傻傻的摩托 一片 完全属于G的 曲面，则称： G 是 一维单连通区域；eg: 球面所围成的区域，既是二维单连通，又是 一维 单连通；
环面所围成的区域，是 二维单连通，但不是一维 单连通；
同心球 之间的区域 是一维单连通，但不是 二维单连通的。
2.曲面积分为零的充要条件：
在G 内 恒成立，G为 空间二维单连通区域。
通量与散度：1.通量(流量)：
设 有向量场 A(x,y,z) = P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k, n 为 有向曲面Σ 在点 (x,y,z) 的单位法向量， 则称 积分：
称为 向量场 A 通过 曲面 Σ 向着 指定侧 的通量（流量）。
2.高斯公式的物理意义：
公式右端： 速度场 v 通过 闭曲面 Σ 流向外侧的流体流量；
公式左端： 分布在 Ω内 的 流体源头 在单位时间内 所产生的 流体总质量。
3.通量密度（散度）：
, 其中，V 表示闭区域Ω 的体积，1/V 表示 单位体积内 所产生的 流体质量的 平均值。
记作： div v(M)， 即 div v(M) = 。 div v(M) 可看作： 稳定流动的不可压缩流体 在点M 的 源头强度。
4.一般散度：
对于一般的向量场： A(x,y,z) =P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k， 称为 向量场A 的散度， 记作： div A ,即： div A = . 利用 向量微分算子 ，A 的散度 div A 也 可表达为： Δ*A, 即 div A = Δ*A. 若 向量场 A 的散度 处处为 零， 称 向量场A 为 无源场。
斯托克斯公式1.概要：
格林公式 表达了 平面闭区域 上的 二重积分 与其 边界曲线上的 曲线积分之间的关系；
斯托克斯公式 把 曲面 Σ 上的 曲面积分 与 沿着Σ 的边界曲线 的 曲线积分 联系起来。
2.形式定义：
一. ，其中，τ 为 分段光滑的空间有向闭曲线，Σ 是 以 τ 为边界的分片光滑的 有向曲面， τ的正向 与 Σ 的侧 符合 右手规则。
右手规则： 当 右手 除 拇指外的 四指 依 τ 的 绕行方向时，拇指 所指 的方向 与 Σ 上 法向量的指向相同。
二.
三. ，其中，n = （cosα，cosβ，cosγ）为有向曲线Σ 在点(x,y,z)的单位法向量。
当 Σ表示 xOy上的一块平面闭区域的时候， 斯托克斯公式就变成了格林公式。 格林公式 是 斯托克斯 公式的一种特殊形式。
3.应用：
利用斯托克斯公式求 曲线积分。 （将 一重积分以特殊的方式 转化为二重积分）。
空间曲线与路径无关的条件：1.充要条件：
在G 内恒成立。
其中，G 是一维单连通区域。
2.全微分的充要条件：
此时有： ，其中 M0（x0,y0,z0）为 G内某一点。
环流量与旋度：1.环流量：
设有向量场： A(x,y,z)= P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k, T 是 A 定义域内的 一条 分段光滑的 有向闭曲线，τ 是 T 在 点(x,y,z)处的单位切向量， 则积分：
称为： 向量场A 沿有向闭曲线 T 的环流量。
其具有这样的性质：
2.旋度（环量密度）：
设有一向量场， A(x,y,z)= P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k, 则 向量场： 称为： 向量场A 的旋度， 记作： rot A. 即 rotA =
利用向量微分算子 Δ， rot A可表示为： Δ*A, 即
rot A = Δ*A =
3.无旋场： 向量场A 的旋度 rot A 处处为零。
4.调和场： 一个无源 且 无旋 的 向量场 。
5.旋度的由来： blahblahblah... , 总之 就是跟 旋转角速度有点关系吧。 。。。
2019.3.21 补充：
曲面积分的对偶性： 不规则空间曲面表达式 在坐标系上投影的求法:1.将所投平面的 另一维 的元 消除。 如： 在xOy 平面的投影，则消掉 z；
2.令得到的式子（一个至多二维的表达式）为0，所代表的图形即是投影图形。
网路上的解释：