在计算最佳逼近元时，为什么要选择标准正交基？
1基于幂基计算最优逼近元，计算过程稳定性差
二次定理说明标准正交基的优越性：
定理1
设g的标准正交基为{g1，g2，gn}，fE，则g=ni=1cigi是e中f的最佳逼近当，且只有ci=f，gi
证明：
g=ni=1cigi是e中f的最佳近似，只有fgG
且fggi，I=1，2，n
fI=1NCIGI，gj=f，gici=0
可利用Gram-Schmidt正交过程将一般的基础转换成标准正交基础
正交多项式：
如果内积的定义满足fg，h=f，GH，则根据一元表达式函数1，x，应用Gram-Schmidt的正交化过程得到的结果称为正交多项式。
常用内积如下
f，g=BAF(x ) g ) x ) w ) x ) dx
满足以上要求。
定理2
多项式序列是正交的，定义如下：
pn(x )=) Xan ) pn1 ) x ) BNPN2 ) x )，n2
其中p0(x )=1，p0(x )=xa1，
an=XPN1(x )，pn1 ) x ) pn1 ) x )，pn1 ) x ) ) ) ) )。
bn=XPN1(x )，pn2 ) x ) pn2 ) x )，pn2 ) x ) ) ) ) ) )。
使用的内积满足fg，h=f，GH。
Legendre多项式
使用的内积如下
f，g=11f(x ) g ) x ) dx
生成的正交多项式是Legendre多项式。
Tchebyshev多项式
使用的内积如下
f，g=11f(x ) g ) x ) dx1x2
生成的正交多项式是Tchebyshev多项式。
雅可比多项式
使用的内积如下
f，g=11f(x ) g ) x ) ) 1x )) 1x )dx
生成的正交多项式是Jacobian多项式。