一、引言《人工智能数学基础不定积分1：概念与性质》介绍了必须记住的13个基本积分公式和11个扩展公式。 利用这些公式和不定积分的加法和乘方性质，可以进行部分积分的计算，但非常有限，需要进一步研究不定积分的计算。
本文介绍了利用中间变量代换，将函数转化为复合函数，利用复合函数求积分的方法。 相关方法称为元积分法，简称换元法。
原始替换方法可分为两种：第一种是用诸如u=(x )之类的变量替换形状，然后将函数变换为某个复合函数导数；第二种是对x=) t )进行变量替换，并将所替换的函数变换为某个复合函数导数。
二.第一类换元法定理：设f(u)具有原函数，u=(x)可导，则有换元公式
由该定理可知，f[(x )) ) x ) dx是整体的符号，但在形式上被认为是容易使用积分表计算的积分) f[) x ) d) x]。
因此，第一类兑换法的核心思想是f(x ) dx形式的积分公式中的f ) x ) dx为) x )’) x ) dx。
书中案例很多，请选择3个具有代表性且稍复杂的案例，予以理解：
一般地，对于积分f(ax+b)dx (a0)，总可作变换u=ax+b，把其化为
一般地，对于sin2k+1x cosnx或sinnx cos2k+1x型的函数积分，总可以作变换u=sinx或u=cosx，求得结果。
类似地，对于tannx sec2kx或tan2k-1x secnx型的函数积分，总可以作变换u=tanx或u=secx，求得结果。
一般地，对于sin2mx cos2nx型的函数积分，总可以利用三角恒等式sin2x=(1-cos2x)/2或cos2x=(1+cos2x)/2作变换化成cos2x的多项式，然后用上例的方法求得结果。类似地还可以利用和差化积或积化和差等三角恒等式进行变换。
三.第二类还原法定理：设x=(t)是单调的可导函数，并且’(t)0，又设f[(t)]’(t)具有原函数，则有换元公式：
其中-1(t)是x=(t)的反函数。
说明：推导公式(2-2)右边的被积函数即可证明该公式； 与第一类元公式的不同在于，需要使用一个中间变换，将x变换为变量的其他导入参数，例如以t为自变量的函数； 求出基于t的元函数后，用从t到x的反函数置换回来。 案例：让我们看看下一本书的案例。
注意：老猿在这里思考了一下，为什么能用x=asint？这是因为a2 - x2决定了x2[0,a2]，因此对于满足该要求的x都可以用asint来表达。
从上面的例子可以看出（受文字输入影响，下面的描述中根号用表示）
如果被积函数中包含a2 -x2，则可以设为置换x=asin t化脱根式。类似地：
如果被积函数中包含x2 a2，则置换x=atan t化脱根式； 如果被积函数中包含x2-a2，则可置换x=asec t化脱根式。 但在具体解题时要分析被积函数的具体情况，尽量选择简单的置换，不要拘泥于上述变量置换。
四、逆置换除了上面介绍的两种置换外，还有用于消除分母自变量的逆置换。
五、总结本文介绍了三种换元法求不定积分的方法和案例，具体解题时，要分析被积函数的具体情况，尽量选择简单的置换，不要拘泥于特定的变量置换。
说明：本文内容是老猴子学习同济版高数的总结，需要对原教材的电子版以及OpenCV、Python的基础知识、图像处理原理介绍相关电子资料，或者对文章内容有疑问的，可以在博客首页左侧的二维码加微信公众号
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