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经过学习和探索，掌握了一维卷积和二维卷积矩阵乘法的实现。
对于一维向量的卷积，Matlab提供了对应于convmtx计算向量的乘法矩阵。 这是Toeplitz矩阵。
% By TomHeaven，Hanlin _ tan @ nudt.edu.cn @ 2016.09.28
x=[1 2 3] '；
y=[4(5) )；
n=length(y；
h=convMTX(x，n )；
z=H*y；
z_c=conv(x，y )；
DIFF=norm(z-z_c ) )
% By TomHeaven，Hanlin _ tan @ nudt.edu.cn @ 2016.09.28
x=[1 2 3] '；
y=[4(5) )；
n=length(y；
h=convMTX(x，n )；
z=H*y；
z_c=conv(x，y )；
DIFF=norm(z-z_c ) )
二维卷积(图像和核卷积)的矩阵乘法形式可以通过简单的运算处理导出矩阵的构造方法。 这是带宽矩阵。
设二维图像矩阵为$X in R^{m times n}$，卷积核矩阵为$Y in R^{p times p}$。 将这些按行优先展开得到的向量分别为$x，y$。
令
$$
X=left[
begin{matrix}
1345(5) )
68910 () )
11 12 13 14 15
end{matrix}
right]
$$
$$
Y=left[
begin{matrix}
1333
46(6) )
7 8 9
end{matrix}
right]
$$
然后，将$Z=X * Y$，$z$作为$z$，逐行优先展开得到的向量。
可以构筑矩阵
$$
H=left[
begin{matrix}
970065403100\
087006540310\
098700650031\
end{matrix}
right]
$$
就这样
$$
Hx=z
$$
上面的例子已经包含了$H$的结构定律：
1. $H$的大小为$m times {pn}$。
2 .第一行分为$k$组，每组分为$m$个元素。 $i$组中前$k$个元素为$Y$的$p-i 1$行元素按相反顺序排列，剩下的$n-p$个元素为0。
3 .第i1行比第I行向右移动一个位置，末尾的要素(0)被补充在行的开头。
用Matlab实现是
% By TomHeaven，Hanlin _ tan @ nudt.edu.cn @ 2016.09.28
x=(1:24 )；
y=(1:9 )；
x=reshape(x，[4]6) '；
y=reshape(y，[3] ) '； % square kernel
% constructconvolutionalmultiplicationmatrixh
y_hat=[fliplr(flipud(y ) ]Zeros ) size(X(y，1 )，size ) x，2 )-size (y，2 ) ]；
y_hat=reshape(y_hat '，[1，size(y_hat，1 ) size(y_hat，2 ) ]；
y_hat=[y_hatzeros(1，) size(x，1 )-size (y，1 ) ] * size (x，2 ) ]；
h=Zeros () size ) x，1 )-size ) y，1 )1) * ) size ) x，2 )-size ) y，2 )1)，length(x ) ) x )；
% h (1， )=y_hat；
len=length(y_hat )；
cnt=0；
forI=1:size(x，1 )- size(Y ) y，1 ) 1
forj=1:size(x，2 )- size(Y ) y，2 ) 1
cnt=cnt 1；
h(CNT， )=y_hat；
y_hat(2:len )=y _ hat (1: len-1 )；
y_hat(1)=0；
结束
% skip invalid convolution
forj=1:size(x，2 )-(size ) x，2 )- size(Y ) y，2 )1) ) ) ) ) ) ) ) )。
y_hat(2:len )=y _ hat (1: len-1 )；
y_hat(1)=0；
结束
结束
z=H * x；
z=reshape(z )，[(size(X(x，2 )-size (y，2 )1)，(size ) x，1 )-size (y，1 ) ) ] )；
z=conV2(x，y，' valid ' )；
DIFF=NORM(z-z ) )
% By TomHeaven，Hanlin _ tan @ nudt.edu.cn @ 2016.09.28
x=(1:24 )；
y=(1:9 )；
x=reshape(x，[4]6) '；
y=reshape(y，[3] ) '； % square kernel
% constructconvolutionalmultiplicationmatrixh
y_hat=[fliplr(flipud(y ) ]Zeros ) size(X(y，1 )，size ) x，2 )-size (y，2 ) ]；
y_hat=reshape(y_hat '，[1，size(y_hat，1 ) size(y_hat，2 ) ]；
y_hat=[y_hatzeros(1，) size(x，1 )-size (y，1 ) ] * size (x，2 ) ]；
h=Zeros () size ) x，1 )-size ) y，1 )1) * ) size ) x，2 )-size ) y，2 )1)，length(x ) ) x )；
% h (1， )=y_hat；
len=length(y_hat )；
cnt=0；
forI=1:size(x，1 )- size(Y ) y，1 ) 1
forj=1:size(x，2 )- size(Y ) y，2 ) 1
cnt=cnt 1；
h(CNT， )=y_hat；
y_hat(2:len )=y _ hat (1: len-1 )；
y_hat(1)=0；
结束
% skip invalid convolution
forj=1:size(x，2 )-(size ) x，2 )- size(Y ) y，2 )1) ) ) ) ) ) ) ) )。
y_hat(2:len )=y _ hat (1: len-1 )；
y_hat(1)=0；
结束
结束
z=H * x；
z=reshape(z )，[(size(X(x，2 )-size (y，2 )1)，(size ) x，1 )-size (y，1 ) ) ] )；
z=conV2(x，y，' valid ' )；
DIFF=NORM(z-z ) )