第七章第四节多元复合函数的求导定律一元复合函数y=f(u )，u=) x )求导定律dydx=dydudx微分定律dy=f ) ) u ) du=f ) ) u )) x ) dx )
掌握多元复合函数求导的链式规律
定理.函数u=(t )，v=) t )，z=f ) u，v )在点) u，v )上连续偏导，则复合函数z=f()，)可以在点t上导出，连锁法则dzdt=)
假设：为增量t，则对应的中间变量有增量u、v， z=zuuZVvO()=(u )2)v ) )两边同时除以tt=zududtzvdvdto ))t )=(u (2)v ) )令t0
例如z=f(u，v )、u=) x，y )、v=) x，y ) zx=zuxzvvx=f ' 1' 1f ' 2' 1zy=zuyzvvy=f
另外，z=f(x，y )、v=)、x、y )在分别具有可微调整条件的情况下，zx=fxfvvx=f ' 1f ' 2' 1zy=fvy=f ' 2' 2
注：其中zx与FX不同，zx表示固定y对x求导，FX表示固定v对x求导
战术：分段骑行，加分支用，单路全导，叉路偏导
例z=eusinv，u=xy，v=x y，求zx，zy
解： zx=zuuxzvvx=eusinvyeucosv1=eu (ysinvcosv )=exy[ysin(xy ) cos ) xy]zy=zuyzvvy=eusinvxeucOSV1=EU ) )
例z=uv sint，u=et，v=cost，求全导数dzdt
3: dzdt=zududtzvdvdtzt=vetu (Sint ) cost=et ) costsint ) cost
注意：经常遇到多元抽象复合函数求偏微分方程变形和验证解的问题，以下两个例题有助于掌握该问题和常用的导数符号
内容总结
复合函数推导的链式法则
明确结构，选择正确的公式
练习
1 .已知1.f(x，y )|y=x2=1，f )1) x，y )|y=x2=2x，求f )2) x，y )|y=x2。
解：从f(x，x2 )=1的两边导出x，f(1(x，x2 )-2 (x，x2 )=02x [ 1f ]2(x，x2 ) ]=0f )-2 (x，x2 ) )=1- 1或f
2 .设2.z=sin(xy2 )，求出zx，zy
当：被确定为u=xy2时，z=sinu zx=dzd uux=cos uy2=y2cos (xy2 ) zy=dzduuy=cosu2xy=2xycos ) xy2 )
3 .设3.z=f(x2y，y2 )，求出zx，zy
解：令u=x2y，v=y2zx=zuuxzvvx=f'1(u，v )2xyf'2) u，v )0=2xyf'1) x2y，y2 ) zy=zuuyzvvy=f'2) u
4.z=f(yx )，f ) u )作为可微函数，证明：xzxyzy=0
证明： u=yxxz xyzy=xzuuxyzuy=x zu yx2 yzu 1x=zuyyx=0
5 .设z=(x2y ) x2y )，求出zx，zy
解：令u=x 2y，v=x 2y，z=uvzx=zuuxzvvx=vu v11 uv lnu1=(x 2y ) x 2y1) x 2y ) ln ) x 2y )=) x 2y ) ) x2y ) y ) y )