高中的时候，我们接触过非常常用的不等式。 笔者在学习不等式的过程中有过深入的学习，并对常用不等式进行了证明加强复习。 但是在接触高等数学自学数学分析的过程中发现了自己在不等式运用上的短板，当时并没有引起笔者的注意。 但是，在学习专业课程的过程中，一些比较复杂的不等式在诸如降阶等运算处理中非常重要，考虑到记忆和运用的兼顾，在此笔者结合基本的平均不等式、向量不均匀甜豌豆不等式， 对Young不等式和Holder不等式进行了较细致的证明，并结合自己所学的一元函数积分学和微分学相关知识，推导证明了上述不等式、重要的甜薯片不等式和lmdzt不等式。
1 .平均不等式：
这里，当n=2时，有一个我们经常使用的三角不等式：
在n=3情况下，不等式如下
不等式在我们高中时就已经接触过，可以熟练使用，证明方式也很丰富，在此不再赘述。
2 .向量不等式：
向量不等式的推广包括
上述三个不等式都是我们接触高等数学时常用的不等式，可以通过平均不等式以多种形式证明，这三个不等式也是我们证明复杂不等式的主要工具。
3 .甜豌豆不等式：
的豌豆不等式主要描述凸函数上的不等式(函数图形为凹弧)即f ) x )在区间I中是严格凸函数时的情况
有：
x的线性组合
有：
综上所述，均值、向量和甜豌豆不等式是我们推导复杂关系不等式的基本工具，下面结合基本不等式给出Young、Holder、Minkanski等重要不等式的推导。
4.Young不等式：
将f(x )作为严密地单调增加连续函数(设xf(0)，将g ) x )作为f ) x )的反函数，对于任意的a、b，大于零的不等式如下
且b=f(a )时等号成立。
证明如下。
相对于等式
f(x )是在[0，a]中严格单调递增的连续函数，x=g(y )是f ) x )的反函数g ) y )也严格单调递增。 将[0，a]、[0，f(a] ) n等分，其中0=X0X1X2…Xn=a，0=y0y1y2…yn=f(a ) a )。
也就是说，如果f(a )=b，则原不等式中的等式状况成立。
0f(a ) b的情况下，从f ) x )开始具有连续性。
对于BF(a ) :
通过分析法证明了原始Young不等式，并基于上述证明方式证明了一般形式下的Young不等式。
假设为p1、q1，
对于任意的a、b，有零以上
然后呢
不等式为中等式时成立。
虽然认为Young不等式是连接基本不等式和高等数学中复杂不等式的重要桥梁，但Young不等式可以较系统地证明Holder不等式，然后对Holder不等式的分情形进行讨论可以得到较甜的薯片不等式和lmdzt不等式
5.Holder不等式：
证明：
以上就是Holder不等式的证明，当p=q=1/2时，得出的结论是一个甜薯片不等式。 关于甜薯片不等式的证明。
6 .甜薯片不等式：(结合同济第七版高等数学证明) ) ) ) ) ) )。
证明：
这里也给出了教材中的证明方法，运用保证二阶三项式判别式总是在零以下且原方程无负值的原理进行了证明：
7.lmdzt不等式：
参考文献：
1 .高等数学.同济第七版. 978-7-04-039662-1
2 .数学分析新讲.张筑生. 978-7-30-100846-1
3.Young不等式的一些证明及应用.邢家省.北京航空航天大学数学系