冲激函数具有优良的采样特性，在信号处理、图像处理等方面有着广泛的应用。 这里介绍脉冲函数及其傅立叶变换。 文章内容主要参考cdyc C. Gonzalez和Richard E. Woods撰写的《数字图像处理》。
1 .脉冲函数定义定义1连续变量t在t=0点处的脉冲函数(t )为
(t ) (，0，t=0t0
那个满足等式
(t ) dt=1。
假设f(t )在t=0时连续，脉冲具有如下采样特性
f(t )) t ) dt=f(0)0)。
更一般地，位于任意点t=t0的脉冲由[TT0]表示，在该情况下，采样特性为
f(t )) TT0 ) dt=f ) T0 )。
对于定义2离散变量x，单位离散脉冲函数(x )定义如下
(x )={ 1，0，x=1x0
那个满足等式
x=(x )=1。
离散脉冲具有采样特性
x=f(x )) x )=f )0)。
更一般而言，x=x0处的采样特性为
f(x )) xx0 )=f ) x0 )。
定义3脉冲串st(t )是无限个数的分离周期t的脉冲之和，即
st(t )=n=) TNt ) )
这里，脉冲(t )也可以是连续或离散的.
i2=1.函数族{ei2kt/T}k=0在区间[t2，T2]中具有以下正交性
t2t2ei2nt/tei2mt/TDT={t，0，n=mnm
因此，可以将周期t函数f(t )表示为傅里叶级数的形式。
假设定义4函数f(t )是周期t连续函数，则f ) t )可以用以下的傅立叶级数形式表示
f(t )=n=cnei2nt/T
其中
cn=1tt2t2f(t ) ei2nt/Tdt，n=0，1，2， 2.2傅里叶变换
定义5连续函数f(t )的傅立叶变换
f(t )ff()=f ) t ) ei2tdt
相反，当给定f()时，可以通过xxdbq变换获得f ) t )
f()f1f(t )=f )) ei2td
根据傅立叶变换和逆傅立叶变换的对称性，可以得到以下性质
性质1
f(t ) ff )) ff ) t )3.脉冲和脉冲串的傅立叶变换3.1脉冲的傅立叶变换
原点处的脉冲函数(t ) (参见定义1)的傅立叶变换为
f()=(t ) ei2TDT=ei2t) t ) dt=ei20=e0=1
同样，t=t0时脉冲(TT0 )的傅立叶变换
f()=(TT0 ) ei2TDT=ei2t) TT0 ) dt=ei2t0
根据之前的性质1和脉冲的性质，可以得到以下性质
性质2
f(Ei2t0 )=(TT0 ) () TT0 ) 3.2脉冲串的傅立叶变换
脉冲串st(t ) (参照定义3)是周期t函数，可以用以下的傅立叶级数表示(参照3358www.Sina.com/) )
st(t )=n=cnei2nt/T
其中
cn=1tt2t2st(t ) ei2nt/Tdt
由于区间[T2，T2]中积分只包含位于原点的脉冲(t )
cn=1tt2t2st(t ) ei2nt/TDT=1te0=1t
得到了脉冲串的傅立叶级数
st(t )=1tn=ei2nt/t
此外，从定义4中可以看出
f(Ei2nt/t )=(nt ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) f ) ) ) )nt ) )
因此，脉冲串st(t )傅立叶变换s ))
s()=f ) st ) t ) ) n=f ) ei2nt/t )=1tn=)nt ) ) ) ) ) ) 65
根据该结果可知，周期t的脉冲串的傅立叶变换仍然是脉冲串，其周期为1t。