定积分典型例题20例答案
求例33322
32
1lim
(2) n n n n n 。
将这类问题转化为定积分的分析主要是确定被积函数和积分上下限。 当主题难以考虑被积函数时，可以将区间[ 0，1 ]进行n等分，写出积分和，与求极限进行比较，找到被积函数和积分上下限。
将解区间[ 0，1 ] n等分后，各单元间的长度为1i x n？=，然后是2111n n n
=？ 一个因子1
n次幂
进入和式的各项。 将由此求出的极限转换为求定积分。 也就是说
33322
32
1lim
)2) n n n n n =333
112
lim ) ) n n n n n
n
=1303
4
xdx=？ 同调
例2
20
2x x dx -？
=_________。
解法1以定积分的几何意义而闻名，2
20
2x x dx -？ 等于上半周22(1) 1xy-=) 0y)
被x轴包围的图形的面积。所以220
2x x dx -？
=
2
.解法2本题也可以直接用换元法求解。令1x-=sint(2
2
_
，那么
2
2
2x x dx -？
=2
2
2
1sin cos t tdt -
-？
=2
2
21sin cos t tdt
-？
=220
2cos tdt
？=
2
例3(1)若2
2
) x t x
f x e dt -=？(fx )=__； )2) 0时
() ) x
f x xf t dt=？ 求出(fx )=___。
这是求变量函数的导数的问题，利用下面的公式就可以了
（）
（）
(() ) ) ) (() ) ) ) ) ) ) ) ) )，vxdtfxuxdx'=-？ 同调
解(1) ) f x '=42
2x x xe e ---；
)2)在被积函数中，x不是积分变量，所以是积分的号外0 () ) ) ) ) ) ) ) ) ) x
f x x f t dt=？那么
得到
(fx )=0) ) ) ) x
f t dt xf x？ 同调
例4 )设f x连续且为31
) x f t dt x -=？(26 ) f=_________。
解方程式310
) x f t dt x -=？
向两侧寻求关于x的指导
32 )1) 31f x x -？=、