在数论中，香蕉长筒袜定理是关于最大公约数(或最大公约公式)的定理。 香蕉长筒袜定理由法国数学家艾蒂安香蕉长筒袜命名，它描述了关于任意整数a、b及其最大公约数d、未知数x和y的线性下降方程(
ax by=m
只有在有解且m是d的倍数时。 香蕉长筒袜等式有解时，一定有无限整数解。 各自的解x、y被称为香蕉长筒袜的数量，可以通过辗转相除求出。
例如，如果12和42的最大公因子为6，则方程12x 42y=6有解。 事实上，有(-3 ) ) 12 )42=6及412(-1 ) )42=6。
特别是方程ax by=1有解，只有在整数a和b相互素的情况下才有效。
香蕉长筒袜的等式也可用于定义最大公约数。 d实际上是可以写成最小的ax by形式的正整数。 这个定义的本质是整个环中“理想”的概念。 因此，对于整个多项式环也有香蕉长筒袜定理。
1 .香蕉长筒袜定理：对于任意整数a、b，存在整数x、y，ax by=(a，b )
证明
也可以仅在证a和b都不为0的情况下才可以，且假设a和b都大于0也没有关系。
记住d=(a，b )，对于ax by=d，如果两边同时除以d，则得到(a1 ) x ) b1 ) y=1。 其中) a1，b1 )=1。
转证(a1 ) x ) B1 ) y=1。 带余数除法：
(A1 )=(Q1 ) ) b1 ) ) r1 )，其中0 r1 b1
(B1 )=) Q2 ) ) r1 ) ) r2 )，其中0 r2 r1
(R1 )=) Q3 ) ) r2 ) ) r3 )，其中0 r3 r2
.
(rn-4 )=(rn-2 ) ) rn-3 ) rn-2 ) ) )。
(rn-3 )=(rn-1 ) (rn-2 ) (rn-1 ) ) )。
(rn-2 )=) qn ) (rn-1 ) (rn ) ) ) ) ) ) ) )。
(rn-1 )=(qn1 ) ) rn ) 1
因此，从和中推出(rn-2 ) rn-2 ) rn-2 ) Bn-1=1
结合挤出(rn-3 ) rn-3 ) rn-3 ) Bn-2=1
结合挤出(rn-4 ) rn-4 ) rn-4 ) Bn-3=1
.
再结合推出(r1 ) A1 ) R2 ) B2=1
再结合推出(b1 ) A0 ) R1 ) B0=1
再结合，推出(a1 ) x ) B1 ) y=1
证明书完成。
2 .重要推论：整数a和b互质的充要条件是整数x，y存在，ax by=1
证明
)1) a和b彼此质量相符时
由于(a，b )=1，根据香蕉长筒袜定理，存在整数x，y，使ax by=1。
)2)在存在整数x、y情况下，设ax by=1
因为(a，b )| ax by，所以(a，b )| 1表示(a，b )=1，即a和b相互素。
证明书完成。