范数是指一般向量空间中向量长概念的推广。 简单来说，从向量空间(v )到数域(mathbf{f} )的函数)|(cdot|() )满足以下条件：
1 () ) forallv(inv，|v|(ge0 ) )，((|v|=0) )是适当的，只有() (v=0) ) ) )是适当的。
2 ) (|av|=|a|||v|) ) ) ) ) ) )。
3 ()|uv|(le|u||v|() ) ) ) ) ) ) ) ) ) )3) ) ) ) ) ) 652
在内积空间中，可以通过内积表达式((sqrt(langlev，v ) rangle ) )来定义范数。 这个范数称为内积范数。
并不是所有的范数都是内积诱导的。 例如，在(mathbb{r}^2) )中定义范数(|() x，y )||x|y|)。 这确实是范数，但如果没有内积，就无法引导这个范数。 原因是内积诱导范数满足平行四边形的规律。 [ |u v|^2 |u-v|^2=2|u|^2 2|v|^2]即因为平行四边形四边的平方和等于两条对角线的平方和。 上面列举的例子显然不符合这个特性。
那么，范数满足平行四边形定律的话，必然会从某个内积中衍生出来吗？ 答案是肯定的。 证明请参考以下内容。
平行四边形的法则到底是什么呢？ 为什么有这么大的魔力，成为范数是否有内积背景的唯一门槛呢？
如果范数(|cdot|)由内积诱导，即内积存在，则((langlecdot，cdotrangle) ) (|v|^2=) langlev，
更准确地说，内积的半双线性直接关系到余弦定理。 [|uv|^2=|u|^2| v|^ 22math RM { re } ，langle u，vrangle]|u-v|^^
但是，这两个公式仍然有内积，不能用它来判断某个范数是否由内积引导。 因为，此时不知道内积是什么。
根据勾股定理的证明，(|uv|=|u-v|)时，内积可以消失。 也就是说，勾股定理的形式如下。
(()|uv|=|u-v|) )的情况下，()|uv|^2=|u|^2|v|^2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 652
这样，这个条件完全没有内积的参与，是范数通过内积被诱导的必要条件。 但是，暂且不论那个是否是充值条件，我们在用那个判断的时候有可能会遇到麻烦。 要确定一个范数不是内积诱导的，需要找到两个满足((uv|=|u-v|) )但不满足() uv|^2=|u|^2|v|^2) )的向量
作为从余弦定理中去除内积的方法，无论是否存在(uv|=|u-v|) )，都可以通过将余弦定理的两个表达式相加来消去内积，从而得到平行四边形定律(|uv|^2| u-v|^2=)
根据平行四边形定律，(mathbb{r}^n ) )上定义的p范数) (|(x_1，x_2，)dots，x_n )|=) sum_{I=1}^
值得注意的是梯度定理、余弦定理、平行四边形定律和内积诱导范数之间的关系，它们在以下意义上是等价的。
命题1 (域((mathrm{f} ) ) (包括实域) (mathrm ) f ) )的范数满足以下条件之一时，这个范数由内积导出：
1 )满足平行四边形定律
2 )范数形式的梯度定理1 (如果(|uv|=|u-v|) )|uav|^2=|u|^2，) foralla(in ) mathbb{r} ) ) )
3 )范数形式的梯度定理2 () (forallu，v(inv，v ) not=0) )是实数域中定义的函数() (f ) a )=|av-u| ) (存在一点) ) b )
为了证明这个命题，首先需要讨论在实数域中定义的实数函数((f(a )=|av-u| () )的话是常数函数。 否则，(u，v ) )如果存在线性相关，则其为绝对值函数((f(a )=|a a_0| |v| ) )。 但更一般地说，它不是一个规则函数。 这些性质包括：
性质1 (连续性，(f ) ) (-)\infty，(infty ) )连续
性质2(vnot=0 )时，(f(pminfty )=infty) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 652
性质3(v(not=0) ) () f ) )的图像具有对称轴(如果存在)的一对
称轴只有一条。证明：连续性可由三角不等式得出：( |f(x)-f(y)|=||xv-u|-|yv-u||le|xv-yv|=|x-y| |v|)。
性质2同样也是由三角不等式证明：( f(x)=|xv-u|geleft |,|x|,|v|-|u|,right |)
第三条可以根据前两条得出，因为如果图像有两条对称轴 ( a) 和 ( b)，那么有 ( f(a+x)=f(a-x)) 和 ( f(b+x)=f(b-x))，将两式中的 ( x) 分别换成 ( x-a) 和 ( x-b)，有 ( f(x)=f(2a-x)=f(2b-x))，因此有 ( f(x)=f(2a-x)=f(2b-(2a-x))=f(2b-2a+x))，这说明 ( f) 是周期函数，又根据性质1知道它是有界的，与性质2矛盾。
接下来证明命题1。如果只考虑实数域和复数域上的向量空间，我们可以由1)->2)->3)->内积诱导范数 这样的顺序进行证明，可能这样比较自然一些。但是用1) 证明2),3)中的任何一条都比较麻烦。因此还是按照通常的办法先证明满足平行四边形法则的范数是由内积诱导的。
命题1的证明：1) 如果一个范数满足平行四边形法则，考察函数 ( g(u,v)=|u+v|^2-|u-v|^2)，首先证明 ( g(u+w,v)=g(u,v)+g(w,v)) 与 ( g(au,v)=ag(u,v))，其中 ( a) 是任意实数。
要证明 ( |u+w+v|^2-|u+w-v|^2) ( =|u+v|^2-|u-v|^2+|w+v|^2-|w-v|^2)，在等式左边加上 ( |u+v-w|^2-|u+v-w|^2)，根据平行四边形法则，左边等于 ( 2|u+v|^2+2|w|^2-2|u|^2-2|w-v|^2)，与右边合并同类项，即证明等式 ( |u+v|^2+|u-v|^2-|w-v|^2-|w+v|^2=2|u|^2-2|w|^2)，再次利用平行四边形法则即可得证。
接着证明对任意实数 ( a)，( g(au,v)=ag(u,v))。根据刚才的论述以及前述结论，( g(xu,v)) 是关于实数 x 的连续函数，且满足加法的线性，因此它也满足实数乘法的线性。
对于实数向量空间，定义内积 [langle u,vrangle=frac{|u+v|^2-|u-v|^2}{4}] 可知它满足双线性、对称性，以及 ( langle u,urangle=|u|^2)。
对于复数向量空间，定义内积 [ langle u,vrangle=frac{|u+v|^2-|u-v|^2+|u+iv|^2i-|u-iv|^2i}{4}] 容易验证它满足半双线性，共轭对称性，以及( langle u,urangle=|u|^2)。
接下来我们用2) 证明 3)，3) 证明 1)，并用内积的性质证明2)，从而三个条件等价。
如果2) 满足，那么 ( forall u,vin V,vnot=0)，考虑实数域上的函数 ( f(x)=|xv-u|)，根据前述性质，它必有最小值，并且如果 ( f(a)) 不是它的最小值那么必存在异于 ( a) 的点 ( a’) 使得 ( f(a)=f(a’))。这样，对于 ( a_0=frac{a-a’}{2},b_0=frac{a+a’}{2})，有 ( f(b_0+a_0)=f(b_0-a_0))，即 ( |b_0v-u+a_0v|=|b_0v-u-a_0v|)。这样再根据条件2) 容易看出 ( b_0) 就是对称轴且是最小值。并且条件3) 成立。
如果条件3) 成立，那么 ( forall u,vin V)，如果 ( v=0)，则1) 显然成立，否则，取实变量实值函数 ( f(x)=|xv-u|)，其对称点为 ( b)，那么 ( |u|^2=|2bv-u|^2=|bv-u|^2+|bv|^2)，( |u-v|^2=|bv-u+(1-b)v|^2=|bv-u|^2+|(1-b)v|^2)，( |u+v|^2=|bv-u-(1+b)v|^2=|bv-u|^2+|(1+b)v|^2)，从以上三式容易得到平行四边形法则即1) 成立。
如果满足1)，那么这个范数是由内积诱导出来的，根据内积的性质，如果 ( |u+v|=|u-v|)，那么根据余弦定理，对于任何实数 ( a) 有
( mathrm{Re},langle u,avrangle=amathrm{Re},langle u,vrangle=0)，从而 2) 成立。命题1证完。
可见，平行四边形法则和勾股定理一样，都是在表达同样的意思：由内积诱导的范数的一个本质特征，就是它是一个二次根式，且根号内也是二次的。但这些表达方式里只有平行四边形法则是最简洁的。
在命题1的证明中我们还可以注意到这样的一个事实：复数向量空间中任何两个向量 ( u,v)，都可以找到一个实数 ( a) 使得 ( mathrm{Re},langle u-av,vrangle=0)。在命题1中我们是通过分析的方式利用范数的性质解决的，现在用代数的方法证明这个命题。因为 ( mathrm{Re},langle u-av,vrangle=0) 当且仅当 ( mathrm{Re},langle u,vrangle=mathrm{Re},a|v|^2)，当 ( vnot=0) 时我们可以令 ( mathrm{Re},a=frac{mathrm{Re},langle u,vrangle}{|v|^2})，当 ( v=0) 时任何 ( a) 都满足条件。
从上面分析可看出，只要让 ( a) 的实部满足一定的条件，即可使勾股定理 ( |u|^2=|u-av|^2+|av|^2) 得到满足。